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Nombres premiers et divisibilité

Théorème de décomposition en facteur premier ou théorèmefondamental de l'arithmétique

Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22 Alors :

  • nn se décompose en un produit de facteurs premiers.

  • Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Théorèmede décomposition

Si nn est un entier naturel supérieur ou égal à 22 se décomposant en produit de facteurs premiers sous la forme

n=p1α1p2α2...pkαk,n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} ... p_k^{\alpha_k},

alors les diviseurs positifs de nn sont les entiers de la forme p1β1p2β2...pkβkp_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} ... p_k^{\beta_k} avec 0βiαi0 \leq \beta_i \leq \alpha_i, pour tout ii tel que 1ik1 \leq i \leq k.

Corollaire

Si l'entier n2n \geq 2 admet p1α1p2α2...pkαkp_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k} comme décomposition en produit de facteurs premiers, alors il a (α1+1)(α2+1)...(αk+1)(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)...(\alpha_k + 1) diviseurs positifs.

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