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Équation diophantienne : la résolution pas à pas

Définition

Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont 11 et 1-1.

Propriété

Soit aa et bb deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d=PGCD(a,b)d = PGCD(a,b).

  • Il existe uu et vv deux entiers relatifs tels que au+bv=dau + bv = d.

  • L'ensemble des entiers au+bvau + bv (uu et vv entiers relatifs) est l'ensemble des multiples de dd.

Théorèmede Bezout

Deux entiers relatifs aa et bb sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs uu et vv tels que au+bv=1au+bv = 1.

Théorèmede Gauss

Soit a,ba,b et cc trois entiers non nuls. Si aa divise bcbc et si aa est premier avec bb alors aa divise cc.

Corollaire

Soit a,ba,b et cc trois entiers non nuls. Si bb et cc divisent aa et bb est premier avec cc alors bcbc divise aa.

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