Dynamique

La dynamique est la partie de la mécanique qui s’occupe des mouvements et des causes de ceux-ci. Cette science existe depuis l’antiquité, le premier ayant proposé un modèle étant le philosophe Aristote.

L’application de ces $3$ lois d’énoncé très simple ont permis (et permettent toujours) de réaliser des prédictions d’une étonnante précision. L'engouement des scientifiques et mathématiciens fut tel que certain pensaient pouvoir à partir de ces seules $3$ lois décrire la totalité de l’univers physique et de pouvoir même aller jusqu'à prédire l’avenir. Ce fut l’ère déterministe.

Le problème dans les $2$ premières lois de Newton est quelles sont vraies par rapport à un repère fixe. Mais pour trouver concrètement un repère fixe on se heurte à de sordides problèmes matériels : Ne dit on pas que la terre tourne ? Ne dit on pas que l’espace est en expansion ?

On nomme repère Galiléen le repère fixe mais comme il est impossible de le trouver on fera certaines approximations en considérant par hypothèse qu’un repère fixe par rapport au sol de la terre est Galiléen.

Le centre d’inertie $I$ est le point autour duquel la matière est répartie également. C’est dans le cas d’un corps constitué de matière homogène le barycentre au sens mathématique du terme.

Le centre de gravité est quant à lui le point $G$ ou s’applique la résultante des actions mécaniques de gravité. Et il se trouve que dans un champ de pesanteur homogène ces $2$ points sont coïncidents alors qu’en réalité il représentent bien $2$ choses totalement distincts.

Dans le cas de cette loi la masse est appelée masse inerte (où inertie). Pour ce qui est de la formule bien connue du poids $(P=M.g)$ on nomme $M$ la masse pesante. Bien que d’appellations différentes l’expérience montre que ces $2$ grandeurs sont équivalentes d’où l’utilisation généralisée du terme masse sans qualificatifs additionnels.

Le problème avec d’autres mouvements que celui de translation rectiligne est que les différentes particules de matière ne subissent pas les mêmes accélérations à tout instant. Les seuls cas autres que nous considéreront pré-bac seront simplement ceux de rotation autour d’un axe fixe centre principal d’inertie.

Et si on souhaite ne s’occuper que que mouvements autour d’un axe fixe principal d’inertie cela revient a remplacer les $P$ par $G$. Avec$\overrightarrow{\Gamma(A \in S/0)} = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{V(A \in S/0)}) = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{V(G \in S/0)} + \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{\Omega_{S/0}}).$

Ce qui en définitive se réduit à :

En écrivant les équations de la dynamique pour un ensemble on peut facilement par intégrations successives prédire la position du système à tout instant.

Traduction avec la modélisation vectorielle des actions mécaniques :

La modélisation des actions mécaniques extérieures exercées sur un système conduit à distinguer éléments connus et éléments inconnus. Or la connaissance de ces inconnues peut être nécessaire pour :

Appliquer le PFD à un système pour lequel on connaît certaines actions mécaniques exercées sur celui-ci (données), permet de déterminer les actions mécaniques inconnues.

Il convient donc de recenser les actions (de contact ou à distance) extérieures au système isolé connues ou inconnues : c’est le BAME (Bilan des Actions Mécaniques Extérieures)

Sans mouvements, donc avec un torseur dynamique nul cela donne :

Pour qu’un problème soit plan, il faut :

Cette hypothèse permet :

Ainsi il ne reste qu'une équation de moment, cette dernière se calcule en plusieurs étapes :

• S'imposer une convention de signe (prendre le sens + quad on tourne de l'axe $x$ vers $y$) :

• Déterminer un centre de réduction des moments : prendre le point pour lequel vous ne connaissez pas de direction d'$AM$où qui à la plus d'inconnues :

• Déterminer la valeur algébrique des moments exprimés dans ce centre.

Dans le cas ou le sens de l'action est inconnu, il faut s'en imposer un arbitrairement, en fin de résolution il sera confirmé ou infirmé

• Affecter les signes aux moments en fonction de la convention :

Pour ça il faut regarder le sens de rotation de la force autour du centre de réduction et le comparer à la convention de signe imposée au départ :

Comme le résultat de l'exemple en négatif cela veut dire que le sens que l'on c'est imposé pour $F$ est opposé à la réalité ainsi :

Dans le cas où les distances de bras de levier et orientations d'actions par rapport au bras de levier ne sont pas connus ou à partir de liaisons la méthode de calcul de moment précédente peut se compléter afin d'éviter de réaliser trop de calculs trigonométriques.

• On ne connait pas l'orientation par rapport à $AB$ ni la distance $AB$ : On souhaite calculer le moment en $B$

On calcul le vecteur force : On décompose le problème en $2$ cas simples : avec chaque fois seulement la force en $x$ ou en $y$

Le moment se calcul à chaque fois avec la distance mesurée perpendiculairement à l'effort :

Le moment de cette force $F_a$ en $B = \text{la somme des deux} = 100.(100.\sin50-30.\cos50)$

On est en présence d'une liaison sans moment : On souhaite calculer le moment en $B$

On identifie d'abord le torseur d'actions transmissibles par la liaison :

Ensuite on écrit le torseur transmissible il suffit de remplacer les $0$par des inconnues $t_e$ les $1$ par des $0$ : L'hypothèse plane donne $Z_a=0$ car $Z$ est la profondeur donc : On peut alors comme il n"y a pas de moment remplacer ce torseur par une force en $A$ : Et ensuite comme pour le cas précédent décomposer en deux cas simples sur $x$ puis $y$.

• On est en présence d'une liaison avec moment : On souhaite calculer le moment en B

On identifie d'abord le torseur d'actions transmissibles par la liaison :

Ensuite on écrit le torseur transmissible : L'hypothèse plane donne $Z_a=0, L_a=0$ et $M_a=0$ car $Z$ est la profondeur donc :

On peut alors remplacer temporairement ce torseur par une force en $A$ : mais à la fin du calcul du moment il faudra lui ajouter $N_a$. Ici :

Le moment en $B$ de cet encastrement $A$ est donc : $N_a-30.X_a+100.Y_a$