Cinématique

Domaine de validité

Les outils suivant ne fonctionnent que dans le cadre des hypothèses suivantes :

Solides indéformables (si ils se déforment il faudrait tenir compte de la vitesse de déformation)
Vitesses éloignées de celle de la lumière dans le vide (uniformité de l’espace et du temps)
Problèmes à symétrie plane

A chaque type de mouvement correspond des outils particuliers. Le but de ces outils est que en connaissant le type de mouvement et la vitesse d’un de ses points, de permettre de déterminer la vitesse de n’importe quel autre point du solide.

Champs des vecteurs vitesse

Définition

Le vecteur vitesse instantané $\overrightarrow{V(A \in 1/0)}$ d’un point $A$ appartenant à un solide $1$ en rotation par rapport à un solide $0$ est tel que :

Son point d’application est $A$
Sa direction est tangente en $A$ à la trajectoire de $A$ (tangent à la circonférence ou perpendiculaire au rayon pour un mouvement de rotation).
Le sens est donné par le sens du mouvement.
Le module est égal à $\lVert \overrightarrow{V(A \in 1/0)} \rVert = \lVert \overrightarrow{\Omega_{1/0}} \rVert .\lVert \overrightarrow{OA} \rVert = \omega_{1/0} .R$

Avec:

$V(A\in 1/0)$ en m/s,
$\omega_{1/0}$ vitesse de rotation en rad/s,
$OA = R =$ rayon en m.

Exemple

Hélice d’avion de modélisme

Le mouvement de l’hélice $1$ par rapport au moteur $0$ est une rotation de centre $0$ . Le repère $(O,X,Y)$ de référence est lié à l’avion.

$N_{1/0}$ est la vitesse de rotation : $10 000$ trs/min
Rayon d’hélice : $15$ cm $= OA = OB = 2OC$

Résolution:

$\Omega_{1/0} = 10 000.\pi/30 = 1047$ rad/s (transforme les tour/min en rad/s).

$V(A \in 1/0) = V(B \in 1/0) = \Omega_{1/0}.OA = 1047 \times 0.15 = 157$

$V(C \in 1/0) = \Omega_{1/0}.OC = 1047 \times 0.075 = 77.5$

Composition des vitesses

Propriété

Soient trois solides $0, 1, 2,$ on peut écrire :

$\overrightarrow{V(A \in 2/0)} = \overrightarrow{V(A \in 2/1)} + \overrightarrow{V(A \in 1/0)}$

Equiprojectivité

Propriété

Soient deux points $A$ et $B$ appartenant au même solide $1$ en mouvement plan ( $O$ est solide de référence). Soient $\overrightarrow{V(A\in 1/0)}$ et $\overrightarrow{V(B \in 1/0)}$ les vecteurs vitesses correspondants.

Ces vecteurs vitesses ont la propriété suivante :

La projection orthogonale du vecteur $\overrightarrow{V(A \in 1/0)}$ sur la droite $AB$ est égale à la projection orthogonale du vecteur $\overrightarrow{V(B \in 1/0)}$ sur la même droite $AB$ (équiprojectivité). Autrement dit, le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{V(A \in 1/0)}$ et $\overrightarrow{AB}$ est égal au produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{V(B \in 1/0)}$ et $\overrightarrow{AB}$ . $\begin{aligned}\overrightarrow{V(A \in 1/0)}.\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{V(B \in 1/0)}.\overrightarrow{AB}\\ AH &= BK\end{aligned}$

Conséquence : Pour un solide en mouvement plan, il suffit de connaître complètement une vitesse et la direction d’une autre pour déterminer toutes les vitesses de ce solide.

Le centre instantané de rotation : CIR (axoïde du mouvement)

Propriété

Tout mouvement plan est assimilable à un mouvement de rotation dont le centre changerait de position à chaque instant. Les lieux des positions de ce centre se nomme la base du mouvement.

Remarque : C’est le lieu des torseurs cinématiques de résultante nulle.

Comme dans le mouvement de rotation le centre se trouve à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesses. Il suffit donc de connaître $2$ directions de vitesses pour déterminer le centre qui nous donnera ainsi les directions de toutes les autres vitesses.

Remarques :

Les mouvements doivent d’abord vous permettre de déterminer les directions de vitesses des solides en translation et rotation.
Le CIR ne permet que de déterminer les directions des vitesses des solides en mouvement plan.
On nomme le lieu (la trajectoire) du CIR par rapport au repère fixe : la base.
On nomme le lieu du CIR par rapport au repère mobile : la roulante.

Cinématique

Domaine de validité

Champs des vecteurs vitesse

Définition

Exemple

Composition des vitesses

Propriété

Equiprojectivité

Propriété

Le centre instantané de rotation : CIR (axoïde du mouvement)

Propriété

Méthode

katarina

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