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Le produit scalaire et ses propriétés avec application

Définition

Le produit scalaire de u\vec{u} et de v\vec{v}, noté u.v\vec{u}.\vec{v} (qui se lit u\vec{u} scalaire v\vec{v}), est défini par :

u.v=12(u+v2u2v2)\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2)
lumix

Attention : le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, et pas un vecteur.

Propriété

Le produit scalaire de deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} dans l’espace est leur produit scalaire dans un plan les contenant.

Propriété

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Propriété

Soit u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}. Le produit scalaire de u\vec{u} et v\vec{v} est donné par :

u.v=xx+yy.\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'.

Propriété

Pour deux vecteurs non nuls u\vec{u} et v\vec{v} et trois points A,BA, B et CC distincts du plan.

  • u.v=u×v×cos(u,v)\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u},\vec{v}).

  • AB.AC=AB×AC×cos(AB,AC)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).

Propriété

Soient u,v\vec{u},\vec{v} et w\vec{w} trois vecteurs et λ\lambda un réel. Alors :

  • u.(v+w)=u.v+u.w\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}

  • u.(λv)=λ(u.v)\vec{u}.(\lambda\vec{v}) = \lambda(\vec{u}.\vec{v})

  • (u+v)2=u2+2u.v+v2(\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2 et (uv)2=u22u.v+v2(\vec{u}-\vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2

  • (u+v).(uv)=u2v2(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2.

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Commentaires

Prims Paroliers

0
il y a 5 ans
Bonsoir, j'aimerais que vous m'aider svp.
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Prims Paroliers

0
il y a 5 ans
Bonsoir, j'aimerais que vous m'aider svp.
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ATEWEN

1
il y a 2 ans
Bjr, j'ai compris que le produit scalaire calculé avec les coordonnées dans une base de R3, a la même valeur si la base est orthonormée. Pour qu'une base soit orthonormée, j'ai compris que les vecteurs qui la composent soient orthogonaux (leur produit scalaire est nul si les vecteurs sont différents, et la même valeur si les vecteurs sont égaux). Faut-il en plus que le produit scalaire d'un vecteur par lui-même soit égal à 1 (vecteurs unitaires) ? Merci
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