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Les Nombres Complexes

Généralités sur les complexes

Définition et propriétés générales

Définition

Soit zz un nombre complexe, par définition on écritz=a+ib.z= a+ib.

Cette définition est appelée la forme algébrique de zz avec aaet bb deux réels et ii l’unité imaginaire. aa est la partie réellenotée ℜe(z)\Re e(z), bb est la partie imaginaire notée ℑm(z)\Im m(z).

lumix

Par convention les nombres complexes sont notés zz et i2=−1i^2=-1.

Définition

Soit z=a+ibz= a+ib, alors zˉ\bar{z} défini comme étant égal à a−iba-ib est dit le conjugué de zz.

lumix

Le conjugué inverse uniquement le signe de la partie imaginaire.
Graphiquement, le conjugué représente la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Propriété

Tout nombre complexe zz non nul admet un inverse z′z' qui vérifiezz′=1.zz' = 1.

Définition

Soit z=a+ibz= a+ib, le module de zz est défini comme étant a2+b2,\sqrt{a^2+b^2,} il est noté ∣z∣|z|.

lumix

Le module d'un nombre complexe représente la longueur, on reconnaît ici la formule de Pythagore

Propriété

Soit z=a+ibz=a+ib, si on se réfère au plan complexe on peut en déduire quez est reˊel ⟺b=0⟺zˉ=z⟺arg⁡(z)=0[π].\begin{aligned} z \text{ est réel } \quad \Longleftrightarrow \quad b = 0 \\ \quad \Longleftrightarrow \quad \bar z=z \\ \quad \Longleftrightarrow \quad \arg(z) = 0[\pi].\\ \end{aligned}

D'autre partz est imaginaire pur ⟺a=0⟺zˉ=−z⟺arg⁡(z)=π2[π].\begin{aligned} z \text{ est imaginaire pur } \quad \Longleftrightarrow \quad a = 0 \\ \quad \Longleftrightarrow \quad \bar z=-z \\ \quad \Longleftrightarrow \quad \arg(z) = \frac{\pi}2[\pi].\\ \end{aligned}

lumix

L'argument noté arg⁡\arg est l'angle qui sépare le vecteur à la droite de l'abscisse, cet angle est orienté.

Équations du 2nd degré sur les complexes

Soit l’équation du second degré avec aa, bb et cc des nombres réels et a≠0a\neq 0az2+bz+c=0.az^2+bz+c= 0.

La particularité dans les nombres complexes est la présence de deux solutions distinctes ou confondues quelque soit le signe du discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac :

Propriété

  • Si Δ>0\Delta>0 , l'équation admet deux solutions réelles :x1=−b−Δ2aetx2=−b+Δ2a.x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

  • Si Δ=0\Delta=0 , l'équation admet une solution réelle dite double :x0=−b2a.x_0=-\frac b{2a}.

  • Si Δ<0\Delta<0 , l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :z1=−b−i−Δ2aetz2=−b+i−Δ2a.z_1=\frac{-b-i \sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2=\frac{-b+i \sqrt{-\Delta}}{2a}.

Forme trigonométrique et exponentielle

Définition

Définition

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe, sa forme trigonométrique est donnée parz=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

avecr=∣z∣=a2+b2 et θ=arg⁡(z).r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\quad \text{ et } \quad \theta=\arg(z).

A partir de la forme trigonométrique, on peut remplacer(cos(θ)+isin(θ))=eiθ(cos(\theta) + isin(\theta))=e^{i \theta}

pour aboutir à la forme exponentiellez=reiθ.z=re^{i\theta}.

Les formules d'opérations

Propriété

Soient zz et z′z' deux nombres complexes tel que z′≠0z'\neq 0.

  • ∣z×z′∣=∣z∣×∣z′∣|z\times z'| = |z|\times |z'|

  • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|\dfrac{z}{z'}| = \dfrac{|z|}{|z'|}

  • ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n

  • ∣zˉ∣=∣z∣|\bar z| = |z|

  • ∣−z∣=∣z∣.|-z|=|z|.

Propriété

Soient zz et z′z' deux nombres complexes tel que z′≠0z'\neq 0.

  • arg⁡(z×z′)=arg⁡(z)+arg⁡(z′)[2π]\arg(z \times z') = \arg(z) + \arg(z') [2\pi]

  • arg⁡(zz′)=arg⁡(z)−arg⁡(z′)[2π]\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z')[2\pi]

  • arg⁡(zn)=narg⁡(z)[2π]\arg(z^n) = n \arg(z)[2\pi]

  • arg⁡(zˉ)=−arg⁡(z)[2π]\arg(\bar z) = -\arg(z)[2\pi]

  • arg⁡(−z)=π+arg⁡(z)[2π].\arg(-z) =\pi+\arg(z)[2\pi].

Propriété

Soient α,α′\alpha, \alpha ' deux réels et nn un entier,

  • eiαeiα′=ei(α+α′)e^{i\alpha}e^{i\alpha '} = e^{i(\alpha+\alpha ')}

  • eiαeiα′=ei(α−α′)\dfrac{e^{i\alpha}}{e^{i\alpha '}} = e^{i(\alpha-\alpha ')}

  • (eiα)n=einα.(e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha}.1eiα=e−iα\dfrac{1}{e^{i\alpha}} = e^{-i\alpha}

  • (eiα)n=einα.(e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha}.

Nombres Complexes et Angles

Propriété

Soient AA, BB et CC trois points distincts. On sait que la longueur d'un segment est donnée par la norme d'un vecteurAB=∣∣AB→∣∣=∣zB−zA∣.AB=||\overrightarrow{AB}||= |z_B-z_A|.

Ainsi, l'angle entre deux vecteurs est donné par(AB→,AC→)=arg(zC−zAzB−zA)[2π].(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})= arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)[2\pi].

lumix

Mots clés à retenir : unité imaginaire, partie réelle, partie imaginaire, inverse, conjugué, module, forme trigonométrique, argument, forme exponentielle.

Commentaires

Aigle d'or

0
il y a 5 ans
it's fun
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Jiya

0
il y a 5 ans
(32/15)+(118/15)i
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Jiya

0
il y a 5 ans
Za barre = 2 + (1/5)i ; Zb barre = 2/3 - 14i
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Geobta

0
il y a 5 ans
oui
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mouna

0
il y a 5 ans
merci
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mouna

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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Xico

0
il y a 5 ans
Pour la 2) il suffit juste de calculer le milieu de AC ou DB :)
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Batiste

-1
il y a 4 ans
Il faudrait qu'on puisse télécharger les fiches en png
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