Soit un nombre complexe, par définition on écrit
Cette définition est appelée la forme algébrique de avec et deux réels et l’unité imaginaire. est la partie réellenotée , est la partie imaginaire notée .
Par convention les nombres complexes sont notés et .
Soit , alors défini comme étant égal à est dit le conjugué de .
Le conjugué inverse uniquement le signe de la partie imaginaire.
Graphiquement, le conjugué représente la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
Tout nombre complexe non nul admet un inverse qui vérifie
Soit , le module de est défini comme étant il est noté .
Le module d'un nombre complexe représente la longueur, on reconnaît ici la formule de Pythagore
Soit , si on se réfère au plan complexe on peut en déduire que
D'autre part
L'argument noté est l'angle qui sépare le vecteur à la droite de l'abscisse, cet angle est orienté.
Soit l’équation du second degré avec , et des nombres réels et
La particularité dans les nombres complexes est la présence de deux solutions distinctes ou confondues quelque soit le signe du discriminant :
Si , l'équation admet deux solutions réelles :
Si , l'équation admet une solution réelle dite double :
Si , l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
Soit un nombre complexe, sa forme trigonométrique est donnée par
avec
A partir de la forme trigonométrique, on peut remplacer
pour aboutir à la forme exponentielle
Soient et deux nombres complexes tel que .
Soient et deux nombres complexes tel que .
Soient deux réels et un entier,
Soient , et trois points distincts. On sait que la longueur d'un segment est donnée par la norme d'un vecteur
Ainsi, l'angle entre deux vecteurs est donné par
Mots clés à retenir : unité imaginaire, partie réelle, partie imaginaire, inverse, conjugué, module, forme trigonométrique, argument, forme exponentielle.