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Méthode : Equations et Inéquations avec le logarithme

Propriété

Pour tout réel x>0x>0, eln(x)=xe^{\ln(x)} = x Pour tout réel xx, ln(ex)=x\ln(e^x) = x.

Propriété

Pour tout réels aa et bb, pour tout entier nn,

  • ln(a×b)=ln(a)+ln(b)\ln(a\times b) = \ln(a)+\ln(b)

  • ln(1a)=ln(a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)

  • ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b)

  • ln(an)=nln(a)\ln(a^n) = n\ln(a)

  • ln(a)=12ln(a)\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)

Propriété

Pour tout réels aa et bb strictement positifs,

  • ln(a)=ln(b)a=b\ln(a) = \ln(b) \Longleftrightarrow a = b

  • ln(a)<ln(b)a<b\ln(a) < \ln(b) \Longleftrightarrow a < b

  • ln(a)ln(b)ab\ln(a) \leq \ln(b) \Longleftrightarrow a \leq b.

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