Pour tout réel x>0x>0x>0, eln(x)=xe^{\ln(x)} = xeln(x)=x Pour tout réel xxx, ln(ex)=x\ln(e^x) = xln(ex)=x.
Pour tout réels aaa et bbb, pour tout entier nnn,
ln(a×b)=ln(a)+ln(b)\ln(a\times b) = \ln(a)+\ln(b)ln(a×b)=ln(a)+ln(b)
ln(1a)=−ln(a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)ln(a1)=−ln(a)
ln(ab)=ln(a)−ln(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b)ln(ba)=ln(a)−ln(b)
ln(an)=nln(a)\ln(a^n) = n\ln(a)ln(an)=nln(a)
ln(a)=12ln(a)\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)ln(a)=21ln(a)
Pour tout réels aaa et bbb strictement positifs,
ln(a)=ln(b)⟺a=b\ln(a) = \ln(b) \Longleftrightarrow a = bln(a)=ln(b)⟺a=b
ln(a)<ln(b)⟺a<b\ln(a) < \ln(b) \Longleftrightarrow a < bln(a)<ln(b)⟺a<b
ln(a)≤ln(b)⟺a≤b\ln(a) \leq \ln(b) \Longleftrightarrow a \leq bln(a)≤ln(b)⟺a≤b.