Géométrie dans l'espace

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (c’est-à-dire qu’il existe un plan les contenant toutes les deux), soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan les contenant toutes les deux). Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles ou confondues).

Deux plans de l’espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles.

Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Si un plan $(P)$ contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan $(P')$ alors les plans $(P)$ et $(P')$ sont parallèles.

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles entre elles.

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ . Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.

$A$ et $B$ étant deux points distincts de l’espace, la droite $(AB)$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ soient colinéaires. On dit que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.

$A, B$ et $C$ étant trois points non alignés de l’espace, le plan $(ABC)$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que : $\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$, avec $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dirigent le plan $(ABC)$.

Soit trois vecteurs non nuls $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que

Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, Soit $A(x_a;y_a;z_a)$ et $B(x_b;y_b;z_b)$. Alors : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\\z_b-z_a\end{pmatrix}$ et le milieu $K$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $K\left(\dfrac{x_a + x_b}{2};\dfrac{y_a + y_b}{2};\dfrac{z_a + z_b}{2}\right)$. Si de plus $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est orthonormé,

Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, soit $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ deux vecteurs et $k$ un nombre réel. Alors $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix}$ et $k\vec{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\\kz\end{pmatrix}$. Si de plus $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est orthonormé,

Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on considère la droite $D$ passant par $A(x_a;y_a;z_a)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. $M(x;y;z) \in (D)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que :

On dit que le système d'équations $\begin{cases}x &= x_a + ta\\y &= y_a + tb\\z &= z_a + tc\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(x_a;y_a;z_a)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, le plan $(P)$ passant par $A(x_a;y_a;z_a)$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$. $M(x;y;z) \in (P)$ si et seulement si il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :

On dit que le système d'équations $\begin{cases}x &= x_a + ta + t'a'\\y &= y_a + tb + t'b'\\z &= z_a + tc + t'c'\end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$ et $t'\in\mathbb{R}$ est une représentation paramétrique du plan $(P)$ passant par $A(x_a;y_a;z_a)$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$.