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Relation de Chasles

Sommaire
jouerRelation de Chasles
jouerSimplification vectorielle
jouerDéveloppement vectoriel

Dans cette vidéo, nous allons aborder la relation de Chasles. La relation de Chasles nous explique la règle d'addition pour les vecteurs.

La relation de Chasles

Définition

La relation de Chasles indique que pour trois points AA, BB, CC, on a

AB+BC=AC\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}
Texte alternatif

La relation de Chasles s'applique là où le point d'arrivée et le point de départ des vecteurs qu'on additionne coïncident, par exemple AB+BC\overrightarrow{A\textcolor{green}{B}} + \overrightarrow{\textcolor{green}{B}C} nous donnent AC\overrightarrow{AC}. On peut appliquer la relation de Chasles à une addition d'autant de vecteurs qu'on veut, pourvu que le point d'arrivée coïncide avec le point de départ du vecteur suivant. Par exemple AB+BC+CD=AD\overrightarrow{A\textcolor{green}{B}} + \overrightarrow{\textcolor{green}{B}\textcolor{red}C}+\overrightarrow{\textcolor{red}{C}D} = \overrightarrow{AD}.

Exemple

Pour 5 points A,B,C,X,Y,ZA, B, C, X, Y, Z, on a


  • \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}AB=AC+CB

  • AB=AZ+ZC+CY+YB\vec{AB} = \vec{AZ} + \vec{ZC} + \vec{CY} + \vec{YB}

Il est important de comprendre que les vecteurs sont des translations. Donc tant que le point de départ et d'arrivée sont les mêmes, les vecteurs qui les représentent sont tous égaux. Comme on peut le voir ci dessus, qu'on fasse le chemin AB+BC\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}, ou AC\overrightarrow{AC}, le point de départ est AA, et le point d'arrivée est CC. Ces deux translations nous amènent de AA à CC et sont donc égales.

lumix

Les distances ne sont bien sûr pas égales. C'est la grande différence entre les vecteurs et les segments: peu importe la distance parcourue, si le point de départ et le point d'arrivée sont les mêmes, les vecteurs sont considérés comme égaux.

Propriété

Une addition vectorielle est commutative: on peut librement changer l'ordre des termes dans une addition de vecteurs.

BC+AB=AB+BC\vec{BC} + \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{BC}

On se sert de cette propriété pour arranger les termes dans le bon ordre, et ainsi voir plus facilement où on peut appliquer la relation de Chasles.

Exemple

CD+A+PC=AP+PC+CD\vec{CD} + \vec{A} + \vec{PC} = \vec{AP} + \vec{PC} + \vec{CD}
DQ+AB+GD+BG=AB+BG+GD+DQ\vec{DQ} ​ + \vec{AB} + \vec{GD} + \vec{BG} = \vec{AB} + \vec{BG} + \vec{GD} + \vec{DQ} ​

Simplifier avec la relation de Chasles

Voyons comment on peut utiliser la relation de Chasles pour simplifier une équation vectorielle. On sait déjà que AB+BC=AC\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. On peut généraliser ceci: dès que la même lettre apparaît côte à côte, comme ici BB, on peut la supprimer et réecrire le vecteur résultant comme ceci AB+BC=AC\overrightarrow{A\cancel{B}} + \overrightarrow{\cancel{B}C} = \overrightarrow{AC}.

Reprenons l'exemple ci-dessus et simplifions le:

Exemple

CD+AP+PC=AP+PC+CD=AD\vec{CD} + \vec{AP} + \vec{PC} = \vec{AP} + \vec{PC} + \vec{CD} = \vec{AD}
DQ+AB+GD+BG=AB+BG+GD+DQ=AQ\vec{DQ} + \vec{AB} + \vec{GD} + \vec{BG} = \vec{AB} + \vec{BG} + \vec{GD} + \vec{DQ} ​ = \vec{AQ} ​

Développer avec la relation de Chasles

On peut aussi faire l'opération inverse: ajouter des vecteurs tant que le point de départ et d'arrivée restent inchangés.

Exemple

AC=AB+BD+DC.\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC} .
AC=AB+BD+DE+EF+FC.\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FC} .
AC=AB+BD+DE+EF+FK+FC\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FK} + \vec{FC}

On voit qu'on peut ajouter autant de termes, ou de détours qu'on voudra, pourvu qu'on parte et qu'on arrive au même endroit.

Pour vérifier qu'on a pas fait d'erreurs, l'expression doit pouvoir se simplifier jusqu'au vecteur départ-arrivée, ici AC\overrightarrow{AC}. On a bien AC=AB+BD+DC=AD+DC=AC\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A\cancel{B}} + \overrightarrow{\cancel{B}D} + \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{A\cancel{D}}+ \overrightarrow{\cancel{D}C} =\overrightarrow{AC}, donc le développement est correct.

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Commentaires

ILLARUS

1
il y a 5 ans
EK
Répondre

ILLARUS

0
il y a 5 ans
C ca ?
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Steven

2
il y a 5 ans
Oui
Répondre

Littéraire affirmé

0
il y a 5 ans
Très bonne vidéo, me manque plus qu'a choper mon 20/20 avec ça !
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kilian

1
il y a 5 ans
EK
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Telmoi

1
il y a 5 ans
AB + BE + ED - ED = AB + BE + 0 = AE, c'est pas plus simple ? 
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Telmoi

0
il y a 5 ans
Tout compte fait non, ça ne serait pas possible comme résultat.
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Pr.Shadoko

0
il y a 5 ans
Pourquoi?
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Rayan

1
il y a 5 ans
EF+GK+FG = EF+FG+GK = EF+FK =EK
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Overdose

1
il y a 5 ans
EF+GK+FG=EF+FG+GK=EG+GK=EK
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axeldjedji@gmail.c om

0
il y a 5 ans
coucou
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axeldjedji@gmail.c om

0
il y a 5 ans
cc
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Sirine

0
il y a 5 ans
salut vous etes tous en premieres ?
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AsFXtheo

0
il y a 5 ans
Oui haha
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Sirine

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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snnd_

0
il y a 5 ans
Dans la partie (1) simplifer, on ne peut pas faire AB + CD + BD = AB - DC + BD = AB + CB = AB + BC =  AC ? On ne peux pas changer le signe ?
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macycola

0
il y a 5 ans
EF + GK + FG = EK
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Mimiw

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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thouguex

0
il y a 5 ans
haha tres drole, tu m'as eux
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Nanouche

0
il y a 5 ans
EK
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Alexandre

0
il y a 5 ans
EK
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asri

0
il y a 4 ans
salu
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NEHEMIE

0
il y a 3 ans
Sur le dernier exemple pour développer c'est pas plutôt: AC = AB+BD+DE+EF+FK+KC   ( et non FC sinon cela donnera plus AC mais AK+FC) non ?
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NEHEMIE

0
il y a 3 ans
?
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leptielev

0
il y a 2 ans
AC = AB + BD + DE + EF + FK + FC KC??
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