Dans cette vidéo, on va illustrer la propriété du parallélogramme. Cette propriété nous inique comment additionner deux vecteurs partant de la même origine.
Avec le méthode de Chasles, nous avons appris à additionner des vecteurs qui sont mis bout à bout. Mais que faire quand ils ne le sont pas? On va se rappeler qu'un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur. Or deux vecteurs parallèles ont la même direction. Donc si on prend deux vecteurs parallèles ayant le même sens et la même longueur, ils représentent le même vecteur.
Prenons deux vecteurs quelconques et , situés dans le plan (cf. dessin gauche ci-dessous). Si on déplace notre vecteur jusqu'au bout de notre vecteur , tant que le vecteur ne change pas de direction de sens ou de longueur, il reste le même vecteur, et on peut donc appliquer la relation de Chasles (cf dessisn droite ci-dessous):
On a simplement déplacé le vecteur en prenant soin de garder la même longueur, sens et direction. Ceci n'est que possible si on le fait de manière parallèle, c'est-à-dire notre vecteur à gauche et celui à droite sont parallèles; s'ils ne l'étaient pas, ils n'auraient pas la même direction et ne reprsénteraient plus le même vecteur.
Maintenant imaginons qu'on veuille additionner les vecteurs et . Il suffit de refaire la même méthode que précédemment : on va déplacer un des vecteurs de manière parallèle (trait en pointillé orange sur le dessin ci-dessous), et ensuite on pourra appliquer Chasles pour faire l'addition :
La figure résultante est un parallélogramme. Pourquoi? Etant donné qu'on doit déplacer les vecteurs parallèlement pour qu'ils gardent la même direction, et et leur équivalent en trait pointillé orange sont parallèles. On se retrouve donc avec une figure qui possède une paire de côtés parallèles, un parallélogramme.
Résumons maintenant ces deux propriétés:
Soient et deux vecteurs et un point quelconque du plan. La construction de la somme peut se faire de deux manières :
Méthode de Chasles :
Il existe un unique point tel que et il existe un unique point tel que . Donc d’après la relation de Chasles (voir la figure ci-dessous) :
Méthode du parallélogramme
Il existe un unique point tel que et il existe un unique point tel que . La somme de et (c'est-à-dire de et ) est le vecteur tel que le quadrilatère est un parallélogramme (voir la figure ci-dessous).
Conclusion : est un parallélogramme si et seulement si