Droites et plans

Dans cette vidéo, on va introduire ce qu'est un plan et comment il se construit à l'aide de droites, ainsi que ses propriétés.

Intuitivement, un plan est une feuille A4 infinie (donc une feuille A999999999999....). Voyons comment il se définit mathématiquement à partir de droites.

Une façon très simple de montrer ceci est de le faire soi-même. Prenons deux stylos et faisons une croix avec, pour représenter nos deux droites sécantes. Est-ce que on peut poser une feuille (notre plan), juste en dessous de ces stylos? On se rend compte que la réponse est oui à chaque fois.

La même chose avec une droite et un point. Prenons un stylo et un bouton, et essayons de faire la même chose. On voit qu'on y parvient à chaque fois aussi.

Maintenant on sait construire un plan. Comme un plan est en 2D, et on travaille dans l'espace, il faut un peu de vocabulaire pour savoir quelles droites appartiennent au plan et lesquelles se trouvent en dehors.

Pour le voir, il suffit de prendre une feuille et mettre des stylos dessus. Les stylos vont la plupart du temps se croiser, à moins qu'ils ne soient parallèles. N'oublions pas que les stylos qu'on utilise pour représenter ces droites ainsi que la feuille pour représenter ce plan, se prolongent à l'infini.

Maintenant intéressons nous de ce qui se passe en dehors du plan. Comment se comportent deux plans dans l'espace?

On peut le voir avec deux feuilles A4, en les plaçant où on veut (sans oublier de les prolonger à l'infini), on se rend compte que soit ils se coupent, et la coupure forme une droite, soit ils ne se coupent jamais, comme si on les posait sur des faces opposées d'un dé.

Maintenant il nous reste plus qu'à savoir comment se comporte une droite non-coplanaire face à un plan? La propriété suivante nous l'explique:

Toujours avec la feuille et un stylo, on peut les placer dans les positions qu'on a envie. En prolongeant le stylo et la feuille (mentalement hein), on se rend compte que tôt ou tard le stylo va percer la feuille, à moins que celui ci y soit parallèle.