Méthode : Exercice type loi binomiale

On dit qu’une expérience aléatoire à deux issues est une épreuve de Bernoulli.

Par convention, une des deux issues, de probabilité $p$ avec $0 < p < 1$, est appelée succès (notée $S$) et l’autre est appelée échec (notée $\overline{S}$).

On dit que la variable aléatoire prenant la valeur $1$ en cas de succès et la valeur $0$ en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est $p$.

La répétition $n$ fois (où $n \in N^*$), de façon indépendante, de cette épreuve de Bernoulli est appelée schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ et un entier $k$ avec $0\leq k \leq n$. L’entier $\dbinom{n}{k}$, appelé coefficient binomial et se lisant « $k$ parmi n », désigne le nombre de chemins de l’arbre correspondant à $k$ succès.

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. On dit que la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus sur les $n$ épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $B(n;p)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $B(n ; p)$. On a :

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