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Fonctions de densité

Variables aléatoires à densité et loi uniforme

Définition et propriétés générales

Définition

Si une fonction ff définie sur un intervalle II est continue et positive sur II et si l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe de ff sur l’intervalle II est égale à 11 (unité d’aire) alors on dit que ff est une fonction de densité (ou une densité de probabilité).

Définition

Soit ff une fonction de densité sur un intervalle II. Dire que la variable aléatoire XX suit la loi de densité ff signifie que pour tout intervalle [a;b][a;b] inclus dans II on a P(aXb)P(a \leq X \leq b) = Aire(D)(D)DD est le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe de ff et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b. On a alors P(aXb)=abf(t)dtP(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^bf(t)dt.

Définition

On appelle espérance mathématique de XX de densité ff le nombre

E(X)=Ωtf(t)dt.E(X) = \int_{\Omega} tf(t)dt.

Loi uniforme

Définition

Une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur [a;b][a;b] si elle admet pour densité la fonction constante ff définie sur [a;b][a;b] par f(x)=1baf(x) = \dfrac{1}{b-a}.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b][a;b] et [c;d][c;d] un intervalle inclus dans [a;b][a;b], alors on a P(X [c;d])=dcbaP(X \in [c;d]) = \dfrac{d-c}{b-a}.

Propriété

On considère une variable aléatoire XX suivant la loi uniforme sur [a;b][a;b]. On a alors E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a+b}{2}.

Loi exponentielle et loi normale

Loi exponentielle

Définition

Une variable aléatoire XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambdaλ>0\lambda > 0 si elle admet pour densité la fonction ff définie sur [0;+[[0;+\infty[ par f(x)=λeλxf(x) = \lambda e^{-\lambda x}.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda et aa et bb deux réels positifs. On a alors :

  • P(aXb)=eλaeλbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

  • P(Xa)=1eλaP(X \leq a) = 1 - e^{-\lambda a}

  • P(Xa)=eλaP(X \geq a) = e^{-\lambda a}.

Propriété

On considère une variable aléatoire XX suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda. On a alors E(X)=1λE(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda > 0 et deux nombres t>0t > 0 et h>0h > 0.

On a :

P(X>t)(X>t+h)=P(X>h)P_{(X>t)}(X > t+h) = P(X > h)

.

On dit que la loi exponentielle est sans vieillissement ou avec absence de mémoire.

Loi normale

Définition

Une variable aléatoire est centrée lorsque son espérance vaut 00 et elle est réduite lorsque son écart-type vaut 11.

Théorème

Soit XnX_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre nn et pp et Z=Xnnpnp(1p)Z = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}, variable aléatoire centrée réduite. Alors pour tout réel aa et bb tels que aba \leq b, on a :

limn+P(aZb)=ab12πex22dx.\lim\limits_{n\to+\infty}P(a \leq Z \leq b) = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}dx.

Définition

Une variable aléatoire XX suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) si elle admet pour densité la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=12πex22f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}. Autrement dit, pour tous réels aa et bb tels que aba \leq b, on a :

P(aXb)=ab12πex22dx.P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}dx.

Propriété

Soit f:x12πex22f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}} la fonction de densité d'une variable aléatoire suivant la loi N(0;1)N(0;1).

  • L’aire totale entre la courbe représentant la fonction de densité ff et l’axe des abscisses est 11.

  • ff est une fonction paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Par un argument de symétrie, pour tout réel aa, on a :

P(Xa)=P(Xa)P(X \leq -a) = P(X \geq a)

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) On a alors E(X)=0,V(X)=1E(X) = 0, V(X) = 1 et σ(X)=1\sigma(X) = 1.

Théorème

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) et α]0;1[\alpha \in ]0;1[. Alors il existe un unique réel uα>0u_\alpha > 0 tel que P(uαXuα)=1αP(-u_\alpha \leq X \leq u_\alpha) = 1 - \alpha.

Définition

Soit μ\mu et σ\sigma deux réels avec σ>0\sigma > 0. On dit qu’une variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ;σ2)N(\mu ; \sigma^2) si Z=XμσZ = \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1).

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale N(μ;σ2)N(\mu ; \sigma^2). On a alors : E(X)=μ,V(X)=σ2E(X) = \mu, V(X) = \sigma^2 et σ(X)=σ\sigma(X) = \sigma.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale N(μ;σ2)N(\mu ; \sigma^2). On a alors :

  • P(X[μσ;μ+σ])0,68P(X \in [\mu - \sigma ; \mu + \sigma]) \approx 0,68

  • P(X[μ2σ;μ+2σ])0,954P(X \in [\mu - 2\sigma ; \mu + 2\sigma]) \approx 0,954

  • P(X[μ3σ;μ+3σ])0,997P(X \in [\mu - 3\sigma ; \mu + 3\sigma]) \approx 0,997.

lumix

Mots clés à retenir : Loi uniforme, Loi exponentielle, Loi normale.

Commentaires

Jad doumit

-1
il y a 4 ans
Bonjour, J’aurais une question certes stupide mais je ne comprends pas la dernière définition de la leçon. Z= X-u/6. Comment suis-je supposé soustraire u de X ? Merci d’avance.
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