La fonction exponentielle

Sommaire

La courbe exponentielle

Propriétés

Formules

Exemples

La fonction Exponentielle

Dans ce chaptre, nous allons parler de la fonction exponentelle. On s'y intéresse car c'est l'unique fonction dont la dérivée est égale à elle même.

Définition

La fonction exponentielle notée $\exp$ ou $e$ est l'unique fonction vérifiant trois propriétés :

$\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$\exp' = \exp$ (la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même)
$\exp(0)=1$ .

$\exp(x)$ et $e^{x}$ sont deux notations équivalentes de la fonction exponentielle.

Courbe représentative

Voici le graphe de la fonction exponentielle. On remarquera le comportement asymptotique aux extrémités de la courbe.

La fonction exponentielle tend vers $0$ à $-\infty$ $(\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0)$ . Son image en $0$ vaut $1$ $(e^{0}=1)$ , et elle croît (de plus en plus rapidement!) vers l'infini $(\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty)$ .

Propriétés

Propriété

La fonction exponentielle est :

strictement croissante ( pour n'importe quel $x > y , e^{x}>e^{y}$ )
déinie sur $\mathbb{R}$ (pour n'importe quel $x \in \mathbb{R}, e^x\in \mathbb{R}$ )
strictement positive ( pour n'importe quel $x, e^{x} > 0$ )

$\exp(1) = e^1= e \approx 2, 71$ .

De plus, pour tout $x \in \mathbb{R},$ $e^{x} \approx 2,71^x$ . Il est important de remarquer que $e^{x}$ est un nombre à une puissance $x$ , et ce nombre vaut approximativement 2,71.

Formules

Il y a $4$ formules à connaître :

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ , pour tout entier $n$ ,

$e^{a}\times e^{b} = e^{a+b}$
$\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$
$e^{-b} = e^{0-b} = \dfrac{e^0}{e^b} = \dfrac{1}{e^b}$
$(e^{a})^n = e^{na}$

On remarque les mêmes propriétés que pour la fonction puissance. Mais, comme remarqué plus haut, $e^x$ est un nombre fixe à une puissance $x$ , ce qui est la définition d'une fonction puissance. Les règles sont donc les mêmes pour les opérations.

Exemple

$(e^{x}+2)^2 = (e^{x}+2)(e^{x}+2) = e^{x} \times e^{x} + e^{x} \times 2 + 2 \times e^{x}+2 \times 2 = e^{2x}+4e^{x}+4$

$e^{a+b} \not = e^a + e^b$ .

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