Définition et propriétés essentielles des intégrales

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ toute fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ telle que $F′ = f.$ On peut l'écrire comme suit :

x\mapsto F(x) = \int^{x}f(t)dt.

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$ .

La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur les intervalles considérés,

$\displaystyle\int _{a} ^{a}f(t)dt=0.$
$\displaystyle\int _{a} ^{b}f(t)dt=-\int _{b} ^{a}f(t)dt.$
$\displaystyle\int _{a} ^{b}f(t)dt=\int _{a} ^{c}f(t)dt+\int _{c} ^{b}f(t)dt.$
Si $k \in \mathbb{R}$ alors $\displaystyle\int _{a} ^{b}kf(t)dt=k\int _{a} ^{b}f(t)dt.$

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Calcul d'aires et intégrales

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