Une variable aléatoire est centrée lorsque son espérance vaut et elle est réduite lorsque son écart-type vaut .
Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre et et , variable aléatoire centrée réduite. Alors pour tout réel et tels que , on a :
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction définie sur par : . Autrement dit, pour tous réels et tels que , on a :
Soit la fonction de densité d'une variable aléatoire suivant la loi .
L’aire totale entre la courbe représentant la fonction de densité et l’axe des abscisses est .
est une fonction paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Par un argument de symétrie, pour tout réel , on a :
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite . On a alors et .
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et .
Alors il existe un unique réel tel que .