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TerminaleMathématiquesContinuité, dérivation et convexité
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Fonctions Convexes et Concaves

Convexité

Définition

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle II et Cf\mathscr C_{f} sa courbe représentative.

On dit que la fonction ff est convexe sur II, si la courbe Cf\mathscr C_{f} est au dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle II.

Exemple

  • La fonction x↦x2x\mapsto x^2 est convexe sur R\mathbb{R}

  • La fonction x↦1xx\mapsto \dfrac{1}{x} est convexe sur R+∗\mathbb{R}_+^*.

Théorème

Si ff est dérivable sur II, alors

ff est convexe sur II si et seulement si f′f' est croissante sur II.

Théorème

Si ff est dérivable deux fois sur II, alors

ff est convexe sur II si et seulement si f′′≥0f'' \geq 0 sur II.

Concavité

Définition

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle II et Cf\mathscr C_{f} sa courbe représentative.

On dit que la fonction ff est concave sur II, si la courbe Cf\mathscr C_{f} est en dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle II.

Exemple

  • La fonction x↦−x2x\mapsto -x^2 est concave sur R\mathbb{R}

  • La fonction x↦1xx\mapsto \dfrac{1}{x} est concave sur R−∗\mathbb{R}_-^*.

Théorème

Si ff est dérivable sur II, alors

ff est concave sur II si et seulement si f′f' est décroissante sur II.

Théorème

Si ff est dérivable deux fois sur II, alors

ff est concave sur II si et seulement si f′′≤0f'' \leq 0 sur II.

Point d'inflexion

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II de courbe représentative Cf\mathscr C_{f} et A(a;f(a))A\left(a;f(a)\right) un point de la courbe Cf\mathscr C_{f}.

On dit que AA est un point d’inflexion de la courbe Cf\mathscr C_{f}, si et seulement si la courbe Cf\mathscr C_{f} traverse sa tangente en AA.

Exemple

La fonction x↦x3x \mapsto x^3 admet un point d'inflexion en (0;0)(0;0).

Propriété

Si AA est un point d’inflexion d’abscisse aa, ff passe de concave à convexe ou de convexe à concave en aa.

Théorème

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II de courbe représentative Cf\mathscr C_{f}. Le point AA d’abscisse aa est un point d’inflexion de Cf\mathscr C_{f} si et seulement si f′′f'' s’annule et change de signe en aa.

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