Une fonction est continue en si et seulement si
Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue pour tout point .
Graphiquement, la courbe d'une fonction continue peut être tracée "sans lever le crayon".
Si et sont deux fonctions continues, alors:
est une fonction continue
est une fonction continue
est une fonction continue
est une fonction continue
est une fonction continue.
Soit une fonction continue sur l'intervalle , alors pour tout réel compris entre et .
Alors il existe au moins un réel tel que .
Soit une fonction continue strictement monotone sur l'intervalle , alors pour tout réel compris entre et .
Alors il existe un unique réel tel que .
est dérivable en lorsque : existe, dans ce cas c'est un nombre réel. Cette limite est le nombre dérivé en et on le note et on a :
Si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle , on dit que est dérivable sur et que l'application qui a tout associe le nombre dérivé de au point est appelée fonction dérivée de
La courbe représentative de a pour tangente en la droite de coefficient directeur .
Si , alors est croissante.
Si , alors est décroissante.
Si , alors est constante.
Si admet un extremum local en , alors .
Si s'annule et change de signe en , alors admet un extremum local en
Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle alors :
La somme est dérivable sur et on a :
Le produit est dérivable sur et et on a :
Si est dérivable sur et on a :
Si ne s'annule pas sur alors est dérivable et on a :
Si ne s'annule pas sur alors est dérivable et on a :
Si est une fonction dérivable sur un intervalle et si est une fonction dérivable sur un intervalle et pour tout on a : alors est dérivable sur et on a :
(f∘g)′(x)=g′(x)×f′(g(x)).
Mots clés à retenir : Nombre dérivé, Fonction dérivée, Valeur intermédiaire.