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Définitions et propriétés

Continuité

Définition et propriétés générales

Définition

Une fonction ff est continue en aa si et seulement silimxaf(x)=f(a)\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)

Une fonction ff est continue sur un intervalle II si elle est continue pour tout point aIa \in I.

lumix

Graphiquement, la courbe d'une fonction continue peut être tracée "sans lever le crayon".

Propriété

Si ff et gg sont deux fonctions continues, λR\lambda \in \mathbb{R} alors:

  • f+gf+g est une fonction continue

  • f×gf \times g est une fonction continue

  • fgf ∘ g est une fonction continue

  • λf\lambda f est une fonction continue

  • 1f\frac 1 f est une fonction continue.

Théorèmes de continuité

Théorèmedes valeurs intermédiaires

Soit ff une fonction continue sur l'intervalle [a;b][a;b], alors pour tout réel y0y_0 compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b).

Alors il existe au moins un réel c[a,b]c\in [a,b] tel que f(c)=y0f(c) = y_0.

Corollaire

Soit ff une fonction continue strictement monotone sur l'intervalle [a;b][a;b], alors pour tout réel y0y_0 compris entre f(a)f(a)et f(b)f(b).

Alors il existe un unique réel c[a,b]c\in [a,b] tel que f(c)=y0f(c) = y_0.

Dérivation

Définition et propriétés générales

Définition

ff est dérivable en x0x_0 lorsque : limh0f(x0+h)f(x0)h\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} existe, dans ce cas c'est un nombre réel. Cette limite est le nombre dérivé en x0x_0 et on le note f(x0)f'(x_0) et on a :f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h=limxx0f(x)f(x0)xx0.f'(x_0)= \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}.

Définition

Si une fonction ff est dérivable en tout point x0x_0 d'un intervalle II, on dit que ff est dérivable sur II et que l'application qui a tout xIx \in I associe le nombre dérivé de ffau point xx est appelée fonction dérivée de ff

Propriété

La courbe représentative de ff a pour tangente en M0(x0;f(x0))M_0(x_0;f(x_0)) la droite TT de coefficient directeur f(x0)f'(x_0).T:y=f(x0)(xx0)+f(x0)T : y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Propriété

  • Si f0f'\geq 0, alors ff est croissante.

  • Si f0f'\leq 0, alors ff est décroissante.

  • Si f=0f'=0, alors ff est constante.

Propriété

  • Si ff admet un extremum local en aa, alors f(a)=0f'(a) = 0.

  • Si ff' s'annule et change de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa

Opérations sur les dérivées

Propriété

Soient ff et gg deux fonctions dérivables sur un intervalle IIalors :

  • La somme f+gf+g est dérivable sur II et on a :(f+g)=f+g.(f+g)'=f'+g'.

  • Le produit (fg)(fg) est dérivable sur II et et on a :(fg)=fg+fg.(fg)'=f'g+fg'.

  • Si aR,(af)a \in \mathbb{R}, (af) est dérivable sur II et on a :(af)=af.(af)'= af'.

  • Si ff ne s'annule pas sur II alors 1f\dfrac{1}{f} est dérivable et on a :1f=ff2.\frac{1}{f}'=-\frac{f'}{f^2}.

  • Si gg ne s'annule pas sur II alors fg\dfrac{f}{g} est dérivable et on a :(fg)=fgfgg2.\left( \frac{f}{g}\right) '= \frac{f'g-fg'}{g^2}.

Propriété

Si ff est une fonction dérivable sur un intervalle II et si gg est une fonction dérivable sur un intervalle JJ et pour tout xIx \in Ion a : f(x)Jf(x) \in J alors fgf \circ g est dérivable sur II et on a :(fg)=g×fg.(f \circ g)'=g' \times f'\circ g.

lumix

(f∘g)′(x)=g′(x)×f′(g(x)).

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Attention : Une fonction dérivable est continue MAIS une fonction continue n'est pas forcément dérivable. Par exemple : la fonction valeur absolue.

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Mots clés à retenir : Nombre dérivé, Fonction dérivée, Valeur intermédiaire.

Commentaires

bednarekkk

0
il y a 5 ans
a quoi correspond lim svp
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Anna

0
il y a 5 ans
cela correspond a la limite
Répondre

Eschine

0
il y a 5 ans
oui
Répondre

Eschine

0
il y a 5 ans
oui
Répondre

Peioo

0
il y a 5 ans
Dommage que les fonctions réciproques ne soient pas au programme
Répondre

mouna idriss abdillahi

0
il y a 5 ans
quand en utilise le TVI?
Répondre

mouna idriss abdillahi

0
il y a 5 ans
TVI c'est a dire théorem du valeur intermediaire?
Répondre

ayyDH

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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