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Probabilités Conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Définition

Si P(A)0P(A) \neq 0, la probabilité de BB sachant AA, notée PA(B)P_A(B), est définie par :

PA(B)=P(AB)P(A).P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.

Propriété

Les principales règles de construction des arbres pondérés (ou arbres probabilistes) sont :

  • la somme des probabilités des événements (disjoints) correspondant aux branches partant d’un même nœud est 11,

  • les probabilités présentes sur les 2e,3e,2^e,3^e, etc. branches d’un chemin sont des probabilités conditionnelles.

Propriété

Si P(A)0P(A) \neq 0 et P(B)0P(B) \neq 0, alors P(AB)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A).

Propriété

Si P(A)0P(A) \neq 0 et P(A)1P(A) \neq 1, alors :

P(B)=P(AB)+P(AˉB)=P(A)×PA(B)+P(Aˉ)×PAˉ(B).\begin{aligned}P(B) &= P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\\ &= P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)\end{aligned}.

D'une manière plus générale, si A1,A2,...A_1, A_2,... et AnA_n forment une partition de Ω\Omega, c'est à dire que ce sont nn événements disjoints, de probabilité non nulles et que la réunion de tous fait Ω\Omega. Alors :

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+...+P(AnB)=P(A1)×PA1(B)+P(A2)×PA2(B)+...+P(An)×PAn(B).\begin{aligned} P(B) &= P(A_1 \cap B) +P(A_2 \cap B) + ... +P(A_n \cap B)\\ &= P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + ... + P(A_n) \times P_{A_n}(B)\end{aligned}.

Propriété

La formule des probabilités totales permet de justifier une autre règle d’utilisation des arbres pondérés : la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités associées aux chemins qui permettent de réaliser cet événement.

Indépendance

Définition

On dit que AA et BB sont indépendants si, et seulement si,

P(AB)=P(A)×P(B).P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Propriété

Si P(A)0P(A) \neq 0 (ou P(B)0)\left(\text{ou } P(B) \neq 0 \right) alors AA et BB sont indépendants si, et seulement si, PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B) (ou PB(A)=P(A))\left(\text{ou } P_B(A) = P(A) \right).

Propriété

Si AA et BB sont deux événements indépendants alors Aˉ\bar{A} et BB sont également indépendants.

lumix

Mots clés à retenir : Probabilité conditionnelle, Probabilité indépendante, Événement.

Commentaires

manon_fl31

1
il y a 5 ans
ces cours sont geniaux
Répondre

lili02

0
il y a 5 ans
ca veut dire quoi In3?
Répondre