S'abonner
decoration
decorationdecoration

Loi Normale centrée réduite N(0,1)

Définition

Une variable aléatoire est centrée lorsque son espérance vaut 00 et elle est réduite lorsque son écart-type vaut 11.

Théorème

Soit XnX_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre nn et pp et Z=Xnnpnp(1p)Z = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}, variable aléatoire centrée réduite. Alors pour tout réel aa et bb tels que aba \leq b, on a :

limn+P(aZb)=ab12πex22dx.\lim\limits_{n\to+\infty}P(a \leq Z \leq b) = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}dx.

Définition

Une variable aléatoire XX suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) si elle admet pour densité la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=12πex22f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}. Autrement dit, pour tous réels aa et bb tels que aba \leq b, on a :

P(aXb)=ab12πex22dx.P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}dx.

Propriété

Soit f:x12πex22f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}} la fonction de densité d'une variable aléatoire suivant la loi N(0;1)N(0;1).

  • L’aire totale entre la courbe représentant la fonction de densité ff et l’axe des abscisses est 11.

  • ff est une fonction paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Par un argument de symétrie, pour tout réel aa, on a :

P(Xa)=P(Xa)P(X \leq -a) = P(X \geq a)

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1). On a alors E(X)=0,V(X)=1E(X) = 0, V(X) = 1 et σ(X)=1\sigma(X) = 1.

Théorème

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) et α]0;1[\alpha \in ]0;1[.

Alors il existe un unique réel uα>0u_\alpha > 0 tel que P(uαXuα)=1αP(-u_\alpha \leq X \leq u_\alpha) = 1 - \alpha.

Revenir au chapitre
Commentaires

thomasTLG

2
il y a 5 ans
salut pourrais tu nous faire un cours sur utilisation de la calculatrice pour la loi normale.
Répondre

Dr.Abdel

9
il y a 5 ans
ça serais génial une video pour utiliser la calculatrice !!!
Répondre

Nicolas

1
il y a 5 ans
1*10^99 pour l infinie. Mais faut bien rediger le coup de P(a
Répondre

flave

1
il y a 5 ans
super video comme d'hab
Répondre

sayd

0
il y a 5 ans
nice video
Répondre

anamath38

0
il y a 5 ans
bonjour, je comprends bien l'ensemble mais je ne comprends pas le dernier théorème: non expliqué dans la vidéo Soit X X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0;1) N(0;1) et α∈]0;1[ α∈]0;1[. Alors il existe un unique réel uα>0 u α ​ >0 tel que P(−uα≤X≤uα)=1−α P(−u α ​ ≤X≤u α ​ )=1−α
Répondre