Si une fonction définie sur un intervalle est continue et positive sur et si l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe de sur l’intervalle est égale à (unité d’aire) alors on dit que est une fonction de densité (ou une densité de probabilité).
Soit une fonction de densité sur un intervalle . Dire que la variable aléatoire suit la loi de densité signifie que pour tout intervalle inclus dans on a = Aire où est le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe de et les droites d’équation et . On a alors .
On appelle espérance mathématique de de densité le nombre
Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur si elle admet pour densité la fonction constante définie sur par .
Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur et un intervalle inclus dans , alors on a .
On considère une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur . On a alors .
Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre où si elle admet pour densité la fonction définie sur par .
Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre et et deux réels positifs. On a alors :
.
On considère une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . On a alors .
Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre et deux nombres et .
On a :
.
On dit que la loi exponentielle est sans vieillissement ou avec absence de mémoire.
Une variable aléatoire est centrée lorsque son espérance vaut et elle est réduite lorsque son écart-type vaut .
Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre et et , variable aléatoire centrée réduite. Alors pour tout réel et tels que , on a :
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction définie sur par : . Autrement dit, pour tous réels et tels que , on a :
Soit la fonction de densité d'une variable aléatoire suivant la loi .
L’aire totale entre la courbe représentant la fonction de densité et l’axe des abscisses est .
est une fonction paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Par un argument de symétrie, pour tout réel , on a :
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite On a alors et .
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et . Alors il existe un unique réel tel que .
Soit et deux réels avec . On dit qu’une variable aléatoire suit la loi normale si suit la loi normale centrée réduite .
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale . On a alors : et .
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale . On a alors :
.
Mots clés à retenir : Loi uniforme, Loi exponentielle, Loi normale.