Leçon 1

Fonction exponentielle

Définition et propriétés



Définition


La fonction exponentielle est la seule fonction caractérisée comme suit :

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R}

  • f=ff' = f

  • f(0)=1f(0)=1.




Propriétés


Soit aa et bb deux réels. Alors on a les propriétés

  • ea+b=ea×ebe^{a+b} = e^{a}\times e^{b}

  • eab=eaebe^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}

  • ex=1exe^{-x} = \frac 1{e^x}

  • (ex)n=enx(e^{x})^n = e^{nx}.



Equations


Pour résoudre une équation dont des termes sont de la forme exponentielle, on peut utiliser les formules suivantes.

  • ea=eba=be^a = e^b \Longleftrightarrow a = b

  • ea<eba<be^a < e^b \Longleftrightarrow a < b.


Etude de la fonction exponentielle


Représentation graphique




fonction exponentielle
Fonction exponentielle


Variations et limites


La fonction exponentielle est strictement croissante et positive sur R\mathbb{R}.
On a les propriétés

  • limx+ex=+\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x = +\infty

  • limxex=0.\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x = 0.



Dérivée


Pour une fonction uu à images dans R,\mathbb{R}, on dérive la composition en utilisant la propriété suivante :

  • (ex)=ex(e^x)' = e^x.