Soient deux droites et sécantes en un point . Soient et deux points de (distincts de ) Soient et deux points de (distincts de ).
Si les droites et sont parallèles alors
On utilise aussi la propriété de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas
parallèles : Si alors les droites et ne sont pas parallèles.
Sur la figure ci-dessous, les droites et sont parallèles. ; ; et . Calculer les longueurs et .
Solution
Les droites et sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :
Calculons
Calculons
Sur la figure ci-dessous, les droites et sont parallèles. ; ; et . Calculer les longueurs et .
Solution
Les droites et sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :
Calculons
Calculons :
Sur la figure ci-dessous, ; ; et .
Montrer que les deux droites et ne sont pas parallèles.
Solution
On a
Donc
D’où d’après le théorème de Thalès, les droites et ne sont pas parallèles.
Soient et deux droites sécantes en . et sont deux points de distincts de . et sont deux points de distincts de . Si les points , et d'une part, et les points , et d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si
alors les droites et sont parallèles.
Soit la figure ci-dessous :
On donne : ; ; et . Montrer que les droites et sont parallèles.
Solution
On calcule premièrement :
et puisque les points , et d'une part, et les points , et d'autre part, sont alignés dans le même ordre, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles.
Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
On considère un triangle et et sont respectivement les milieux des cotés et . et .
Montrer que les droites et sont parallèles et calculer la distance .
La droite passante par le point et parallèle à coupe la droite au point . Calculer la distance .
Solution
Puisque et sont respectivement les milieux des cotés et alors d’après le théorème des milieux :
La droite passe par le milieu du coté et est parallèle au coté donc d’après le théorème des milieux, coupe le troisième coté en son milieu, c'est-à-dire . est le milieu de donc
Quand deux figures et ont la même forme et que les longueurs des côtés de sont proportionnelles aux longueurs des côtés de , on dit que :
est un agrandissement de si le coefficient de proportionnalité est supérieur à ;
est une réduction de si le coefficient de proportionnalité est inférieur à .
Ce coefficient est appelé rapport d'agrandissement ou de réduction.
Solution
On a donc d’après le théorème de Thalès :
Donc le triangle est une réduction du triangle et le rapport de réduction est :
EF=k×BC=32×4,5cm=3cm.
Les triangles et sont deux triangles qui ont la même forme.
Mots clés à retenir : Proportionnalité, Parallélisme, Milieux, Agrandissement, Réduction.