Soient et deux entiers naturels avec non nul.
Effectuer la division euclidienne de par , c’est déterminer le couple d’entiers naturels tel que :
a s’appelle le dividende, le diviseur, le quotient (entier) et le reste.
Le couple est unique.
Dans la division euclidienne de par , le quotient est et le reste est .
Soient et deux entiers naturels avec non nul.
Quand le reste de la division euclidienne de par est nul, on dit que :
divise .
est divisible par .
est un diviseur de .
est un multiple de .
donc
est un diviseur de (et aussi).
est un multiple de (et de ).
Un nombre entier est divisible par si son chiffre des unités est pair.
Un nombre entier est divisible par si la somme de ses chiffres est un multiple de .
Un nombre entier est divisible par si les deux chiffres de droite forment un nombre multiple de 4.
Un nombre entier est divisible par si son chiffre des unités est ou .
Un nombre entier est divisible par si la somme de ses chiffres est un multiple de .
Un diviseur commun à deux entiers naturels et est un entier naturel qui divise les deux à la fois. Le plus grand entier qui divise à la fois et est appelé le Plus Grand CommunDiviseur de et , et est noté .
est diviseur commun à et .
Calculs de PGCD avec l'algorithme d'Euclide (divisions successives)
C’est un algorithme itératif qui consiste à faire des divisions euclidiennes successives. Il repose sur la propriété suivante :Soient et deux entiers naturels non nuls avec et est le reste de la division euclidienne de par . On a :
Algorithme
Dans la 1ère division, on divise (le plus grand) par (le plus petit) et dans la 2ème division, on prend le diviseur de la 1ère, comme dividende et le reste de la 1ère division comme diviseur et ainsi de suite jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est .
Pour calculer , on effectue les divisions euclidiennes suivantes :Le diviseur est et le reste est non nul.Le diviseur est et le reste est non nul.Le diviseur est et le reste est , donc le est le dernier reste non nul c'est à dire
Calculs de PGCD avec les soustractions successives C’est un algorithme itératif qui consiste à effectuer des soustractions. Il repose sur la propriété suivante :Soient et deux entiers naturels non nuls avec . On a :
Calculons :et puisque est un diviseur de alors
Un nombre premier est un entier naturel (non nul) qui admet exactement deux diviseurs distincts et lui-même.
n'est pas premier
Voici la liste des dix premiers nombres premiers :
Tout entier naturel strictement supérieur à se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
Donc la décomposition de en facteurs premiers est .
On considère la fractionPour rendre cette fraction irréductible, on commence par décomposer et en facteurs premiersensuite on simplifie par les facteurs communs