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Nombre Entiers

Division euclidienne

Définition

Définition

Soient aa et bb deux entiers naturels avec bb non nul.

Effectuer la division euclidienne de aa par bb, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q ;r)(q\ ; r) tel que :a=b×q+retr<ba=b \times q + r \quad \text {et} \quad r< b

a s’appelle le dividende, bb le diviseur, qq le quotient (entier) et rr le reste.

lumix

Le couple (q ;r)(q\ ; r) est unique.

Exemple

Dans la division euclidienne de 38{\color{purple}38} par 7{\color{purple}7}, le quotient est 5{\color{green}5} et le reste est 3{\color{green}3}.

Multiples et diviseurs d’un entier naturel

Définition

Soient aa et bb deux entiers naturels avec bb non nul.

Quand le reste de la division euclidienne de aa par bb est nul, on dit que :

  • bb divise aa.

  • aa est divisible par bb.

  • bb est un diviseur de aa.

  • aa est un multiple de bb.

Exemple

312=8×39+0312=8×39+0

donc

  • 88 est un diviseur de 312312 (et 3939 aussi).

  • 312 312 est un multiple de 88(et de 3939).

Règles de divisibilité

Propriété

  • Un nombre entier est divisible par 22 si son chiffre des unités est pair.

  • Un nombre entier est divisible par 33 si la somme de ses chiffres est un multiple de 33.

  • Un nombre entier est divisible par 44 si les deux chiffres de droite forment un nombre multiple de 4.

  • Un nombre entier est divisible par 55 si son chiffre des unités est 00 ou 55.

  • Un nombre entier est divisible par 99 si la somme de ses chiffres est un multiple de 99.

Diviseur commun et PGCD

Définition

Un diviseur commun à deux entiers naturels aa et bb est un entier naturel qui divise les deux à la fois. Le plus grand entier qui divise à la fois aa et bb est appelé le Plus Grand CommunDiviseur de aa et bb, et est noté PGCD(a;b)PGCD(a; b).

Exemple

33 est diviseur commun à 1212 et 1515.

PGCD et division euclidienne

Propriété

  • Calculs de PGCD avec l'algorithme d'Euclide (divisions successives)

    C’est un algorithme itératif qui consiste à faire des divisions euclidiennes successives. Il repose sur la propriété suivante :Soient aa et bb deux entiers naturels non nuls avec a>ba>b et rrest le reste de la division euclidienne de aa par bb. On a :PGCD(a;b)=PGCD(b;r).PGCD(a; b) = PGCD(b ; r).

  • Algorithme

    Dans la 1ère division, on divise aa (le plus grand) par bb (le plus petit) et dans la 2ème division, on prend bb le diviseur de la 1ère, comme dividende et le reste de la 1ère division comme diviseur et ainsi de suite jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est PGCD(a;b)PGCD(a ; b).

Exemple

Pour calculer PGCD(66;24)PGCD(66; 24), on effectue les divisions euclidiennes suivantes :66=24×2+18.66=24\times 2 +18.Le diviseur est 2424 et le reste est 1818 non nul.24=18×1+6.24=18\times 1+{\color{green}6}.Le diviseur est 1818 et le reste est 66 non nul.18=6×3+0.18=6\times 3 + 0.Le diviseur est 66 et le reste est 00, donc le PGCD(66;24)PGCD(66; 24)est le dernier reste non nul c'est à dire 6{\color{green}6}PGCD(66;24)=6.PGCD(66; 24)=6.

Propriété

Calculs de PGCD avec les soustractions successives C’est un algorithme itératif qui consiste à effectuer des soustractions. Il repose sur la propriété suivante :Soient aa et bb deux entiers naturels non nuls avec a>ba>b. On a :PGCD(a;b)=PGCD(b;ab).PGCD(a; b) = PGCD(b ; a-b ).

Exemple

Calculons PGCD(66;24)PGCD(66; 24) :PGCD(66;24)=PGCD(24;6624)=PGCD(24;42)=PGCD(24;4224)=PGCD(24;18)=PGCD(18;2418)=PGCD(18;6)\begin{aligned} PGCD(66; 24) &= PGCD(24; 66-24)\\{}&=PGCD(24; 42)\\{}&= PGCD(24; 42-24)\\{}&= PGCD(24; 18)\\{}&= PGCD(18; 24-18)\\{}&= PGCD(18; 6)\\ \end{aligned}et puisque 66 est un diviseur de 1818 alorsPGCD(66;24)=6.PGCD(66; 24)=6.

Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un entier naturel (non nul) qui admet exactement deux diviseurs distincts 11 et lui-même.

lumix
  • 11 n'est pas premier

  • Voici la liste des dix premiers nombres premiers :

2;3;5;7;11;13;17;19;23;292 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29

Propriété

Tout entier naturel strictement supérieur à 11 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

Exemple

180=2×90=2×2×45=2×2×3×15=2×2×3×3×5.180=2×90=2×2×45=2×2×3×15=2×2×3×3×5.

Donc la décomposition de 180180 en facteurs premiers est 2×2×3×3×52 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5.

Exemple

On considère la fraction10530\frac {105} {30}Pour rendre cette fraction irréductible, on commence par décomposer 105105 et 3030 en facteurs premiers105=3×35=3×5×7105=3 \times 35=3 \times 5 \times 730=2×15=2×3×530=2 \times 15=2 \times 3 \times 5ensuite on simplifie par les facteurs communs10530=3×5×72×3×5=72\frac {105} {30}=\frac {3 \times 5 \times 7} {2 \times 3 \times 5}=\frac 7 2

lumix

Mots clé à retenir: Division, Euclidienne, Quotient, Reste, Multiple, Diviseur,
Divisibilité, Règle, PGCD, Premier.

Commentaires

Sianaïs

0
il y a 5 ans
Salut, je suis en 1ère pro et j'essaie de redoubler en seconde GT qu'est-ce que tu me conseil de réviser pour ne pas être perdu a ma rentrée en seconde GT, sachant que je n'ai rien fais dans les matières général depuis 1 an et demi, merci bcp pour votre aide, les vidéos et leçons sont super intéréssante.
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Valentine18

0
il y a 5 ans
Bonne chance
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Ettie

0
il y a 5 ans
Merci!!! Je détestais les maths, maintenant j'adore ça!
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