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Fonction linéaires et affines

Définitions

Définition

On considère deux nombres a{\color{green}a} et b{\color{purple}b}.

  • Une fonction affine (de coefficients a{\color{green}a} et b{\color{purple}b}), est une fonction qui à tout nombre xx associe le nombre ax+b{\color{green}a}x + {\color{purple}b} :xax+b.x \longmapsto {\color{green}a}x+{\color{purple}b}.

  • Si b=0{\color{purple}b}=0, cette fonction affine s’appelle fonction linéaire :xax.x \longmapsto {\color{green}a}x.

  • Si a=0{\color{green}a}=0, cette fonction affine devient fonction constante :f:xb.f : x \longmapsto {\color{purple}b}.

Exemple

Parmi les fonctions suivantes, déterminer les fonctions affines, les fonctions linéaires et les fonctions constantes.

  • f(x)=2x

  • g(x)=5x−3

  • h(x)=7

  • k(x)=1−4x.

Solution

  • f(x)=2xf(x)=2x est une fonction linéaire de coefficient a=2a=2.

  • g(x)=5x+(3)g(x)=5x+(−3) est une fonction affine de coefficients a=5a=5 et b=3b=-3.

  • h(x)=7h(x)=7 est une fonction constante.

  • k(x)=(4)x+1k(x)=(−4)x+1 est une fonction affine de coefficients a=4a=-4 et b=1b=1.

Représentation graphique d'une fonction affine

Déplacement sur une droite

Définition

A partir d’un point du plan, on définit un déplacement vers la droite et un déplacement vers le haut comme étant tous les deux positifs ; et on définit un déplacement vers La gauche et un déplacement vers le bas comme étant négatifs.

Exemple

On considère sur la droite (D)(D) trois points AA, BB et CC (figure ci-dessous).

Déplacements sur droite
  • Pour aller de AA à BB, on fait un déplacement horizontal de +4{\color{purple}+4} unités (vers la droite) suivi d’un déplacement vertical de +2{\color{purple}+2} (vers le haut).

  • Pour aller de AA à CC, on fait un déplacement horizontal de 2{\color{red}-2} (vers la gauche) suivi d’un déplacement vertical de 1{\color{red}-1} (vers le bas).

Propriétés et définitions

Définition

Soit ff une fonction affine définie par f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}. La représentation graphique de ff dans le plan muni d'un repère est une droite (Df)(D_f) (non parallèle à l'axe des ordonnées).

  • Cette droite est appelée droite d'équation y=ax+by={\color{green}a} x + {\color{purple}b}.

  • a\textcolor{green}{a} est le coefficient directeur de (Df)(D_f).

  • b\textcolor{purple}{b} est l’ordonnée à l’origine.

Interprétation géométrique de a{\color{green}a} et b{\color{purple}b}

Interprétation géométrique de a et b

Propriété

  • La droite (Df)(D_f) coupe la droite des ordonnées au point P(0;b)P(0 ; {\color{purple}b}).

  • Pour aller de ce point PP vers un autre point AAquelconque de la droite (Df)(D_f), on fait un déplacement horizontal dxd_x suivi d’un déplacement vertical dyd_y. On remarque toujours que :a=dydx.{\color{green}a}=\frac{d_y}{d_x}.

Tracer la droite d’une fonction affine

lumix

Pour tracer la droite (Df)(D_f) d’une fonction affine f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}, nous avons besoin de deux points qui correspondent à deux images :

Méthode 1

  • On prend deux images {f(x1)=y1f(x2)=y2\left \{\begin{aligned} f({\color{green}x_1})={\color{green}y_1} \\ f({\color{purple}x_2})={\color{purple}y_2} \\ \end{aligned} \right., puis on trace les deux points {A(x1;y1)B(x2;y2)\left \{\begin{aligned} {\color{green} A(x_1 ; y_1) } \\ {\color{purple} B(x_2 ; y_2) } \\ \end{aligned} \right..

  • On trace la droite (AB)({\color{green}A} {\color{purple}B}) qui n’est autre que (Df)(D_f).

Méthode 2

  • On trace le point P(0,b)P(0, {\color{purple}b}).

  • On écrit le coefficient directeur a{\color{green}a} sous forme de fraction rationnelle :a=d2d1.{\color{green}a}=\frac {d_2}{d_1}.

  • On part du point PP et on fait un déplacement horizontal de d1d_1 suivi d’un déplacement vertical de d2d_2, on s’arrête sur un point MM. Résultat :(Df)=(PM).(D_f)=(PM).

Exemple

Représenter graphiquement la fonction affinef:x2x+1.f : x \longmapsto 2x+1.

Solution

Méthode 1

La représentation graphique de ff est une droite (Df)(D_f). Il suffit donc de connaître les coordonnées de deux de ses points : On choisit deux images, par exemple {f(1)=3f(2)=5,\left \{\begin{aligned} f({\color{green}1} )={\color{green}3} \\ f({\color{purple} 2})={\color{purple}5} \\ \end{aligned} \right.,donc (Df)=(AB)(D_f)=({\color{green}A} {\color{purple}B}) avec {A(1;3)B(2;5)\left \{\begin{aligned} {\color{green} A(1 ; 3) } \\ {\color{purple} B(2 ; 5) } \\ \end{aligned} \right..

Tracer fonction affine

Méthode 2

L’équation de (Df)(D_f) est y=2x+1y={\color{green}2} x + {\color{purple}1}.

  • On trace le point P(0,1)P(0, {\color{purple}1}).

  • On écrit le coefficient directeur 2{\color{green}2} sous forme de fraction rationnelle :2=+2+1.{\color{green}2}=\frac {{\color{purple}+2}}{{\color{purple}+1}}.

  • On part du point PP et on fait un déplacement horizontal de +1{\color{purple}+1} suivi d’un déplacement vertical de +2{\color{purple}+2}, on arrive au point MM, donc :(Df)=(PM).(D_f)=(PM).

Tracer fonction affine2

Cas particuliers

Propriété

  • La représentation graphique d'une fonction linéaire (xaxx \longmapsto {\color{green}a}x) est une droite passant par l'origine du repère, donc les coordonnées d'un seul autre point suffisent pour tracer cette droite.

  • La représentation graphique d'une fonction constante (xbx \longmapsto {\color{purple}b}) est une droite parallèle à l'axe des abscisses, donc le point P(0;b)P(0 ; {\color{purple}b}) suffit pour la tracer.

Exemple

Représenter graphiquement les fonctions suivantes :f:x1,5x.etg:x2.f : x \longmapsto 1,5x.\quad \text{et} \quad g : x \longmapsto 2.

Solution

  • La fonction ff est linéaire, donc sa droite (Df)(D_f) passe par l’origine OO. D’après l’image f(2)=3f(2)=3, (Df)(D_f) passe aussi par le point A(2;3)A(2;3), donc (Df)=(OA)(D_f)=(OA) (figure ci-dessous).

  • La fonction gg est constante (de valeur 22), donc sa droite (Dg)(D_g) est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point P(0;2)P(0 ; 2) (figure ci-dessous).

Tracer fonction linéaire

Déterminer une fonction affine avec deux points

Définition

Si (Df)(D_f) est la droite d’une fonction affine f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}, et A(x1;f(x1))A(x_1 ;f(x_1)) et B(x2;f(x2))B(x_2 ;f(x_2)) sont deux points différents de cette droite, alorsa=f(x2)f(x1)x2x1.{\color{green}a}=\frac{ f(x_2)- f(x_1)}{ x_2 - x_1 }.Le nombre f(x2)f(x1)x2x1\dfrac{ f(x_2)- f(x_1)}{ x_2 - x_1 } est appelé taux de croissancede ff entre x1x_1 et x2x_2.

Exemple

Déterminer la fonction affine ff telle que f(1)=2f(1)=2 et f(3)=4f(3)=-4.

Solution

Cherchons a{\color{green}a} et b{\color{purple}b} tels que f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}.

Méthode 1 : Taux de croissance

On calcule le coefficient a{\color{green}a}. Puisque f(1)=2f(1)=2 et f(3)=4f(3)=-4donc d’après la propriétéa=f(3)f(1)31=422=62=3.{\color{green}a}=\frac{ f(3)- f(1)}{3 - 1}=\frac{ -4-2}{ 2 }=\frac{ -6}{ 2 }={\color{green}-3}.La fonction est telle quef(x)=3x+b.f(x) = {\color{green}-3} x + {\color{purple}b}.

On cherche maintenant à déterminer b{\color{purple}b}.f(1)=23×1+b=3+b=2.b=2+3.b=5.\begin{aligned} f(1)=2\\ {\color{green}-3} \times 1 + {\color{purple}b}=-3+{\color{purple}b}=2.\\ {\color{purple}b}=2+3.\\ {\color{purple}b}={\color{purple}5}.\\ \end{aligned}Conclusion :f(x)=3x+5.f(x) = {\color{green}-3} x + {\color{purple}5}.

Méthode 2 : Système d’équations

On af(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}

donc{f(1)=a×1+bf(3)=a×3+b\left \{ \begin{aligned} f(1) = {\color{green}a} \times 1 + {\color{purple}b}\\ f(3) = {\color{green}a} \times 3 + {\color{purple}b}\\ \end{aligned} \right.

puisque f(1)=2f(1)=2 et f(3)=4f(3)=-4, donc{a+b=23a+b=4\left \{ \begin{aligned} {\color{green}a} + {\color{purple}b}=2\\ 3{\color{green}a} + {\color{purple}b}=-4 \\ \end{aligned} \right.

On résout ensuite ce système soit par substitution ou par combinaison.{b=2a3a+b=4\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}=2-{\color{green}a}\\ 3{\color{green}a} + {\color{purple}b}=-4 \\ \end{aligned} \right.{b=2a3a+2a=4\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}=2-{\color{green}a}\\ 3{\color{green}a} + 2-{\color{green}a}=-4 \\ \end{aligned} \right.{b=2a2a=42\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}=2-{\color{green}a}\\ 2{\color{green}a} =-4 -2\\ \end{aligned} \right.{b=2a2a=6\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}=2-{\color{green}a}\\ 2{\color{green}a} =-6\\ \end{aligned} \right.{b=2aa=62=3\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}=2-{\color{green}a}\\ {\color{green}a} =\frac{-6}2={\color{green}-3}\\ \end{aligned} \right.{b=2(3)a=3\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}=2 - ({\color{green}-3})\\ {\color{green}a} ={\color{green}-3}\\ \end{aligned} \right.{b=5a=3\left \{ \begin{aligned} {\color{purple}b}={\color{purple}5} \\{\color{green}a} ={\color{green}-3}\\ \end{aligned} \right.

D’où :f(x)=3x+5.f(x) = {\color{green}-3} x + {\color{purple}5}.

lumix

Mots clés à retenir : Droite, Équation, Coefficient directeur, Ordonnée à l’origine.

Commentaires

Sandrine

1
il y a 4 ans
J’ai un problème avec 1 de vos exercices dans la vidéo fonction affines et linéaire 
Répondre

li2bx

3
il y a 4 ans
Comment on donne un antécédent par la fonction de x ?
Répondre