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Calcul littéral

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Définition

Définition

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par des lettres. On l'utilise pour donner une formule ou une propriété.

Exemple

  • Le périmètre d’un rectangle de longueur LL et de largeur estP=2×(L+).P=2\times (L+\ell).

  • L’aire d’un cercle de rayon RR estA=π×R2.A=\pi \times R^2.

Exemple

  • Pour tous nombres aa, bb et mm, on a :am+bm=a+bm.\frac a m + \frac b m =\frac {a+b} m.

  • Pour tout nombre xx et pour tous entiers relatifs nn et mm, on a :xn×xm=xn+m.x^n \times x^m=x^{n+m}.

Règles importantes pour simplifier les expressions

lumix

Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale,

  • On supprime le signe « ×\times » devant une lettre ou une parenthèse.3×x+5×(y+2)=3x+5(y+2).3\times x+5\times (y+2)=3x+5(y+2).

  • Si une parenthèse est précédée du signe « ++ », on supprime les parenthèses sans rien changer.(x+4)+(y1)=x+4+y1=x+y+3.(x+4)+(y-1)=x+4+y-1= x+y+3.

  • Si une parenthèse est précédée du signe « - », on supprime les parenthèses à condition de changer les signes de tous les termes de la parenthèse.(x25x+7)=x2+5x7.-(x^2-5x+7)=-x^2+5x-7.

  • Le produit a×aa \times a s’écrit a2a^2, et se prononce « aa au carré ».

  • Le produit a×a×aa \times a \times a s’écrit a3a^3, et se prononce « aa au cube ».

lumix
  • 0×x=0;1×x=x;1×x=x.0×x=0;1×x=x;−1×x=−x.

  • Dans le produit d’un nombre et d’une lettre, on place le nombre devant la lettre3×x×2=6x.3\times x \times 2=6x.

Exemple

Simplifions l’expressionX=a×2(5×b1)+3×(1×c×c4).X=a\times 2-(5\times b-1)+3\times (1\times c\times c -4).

Solutions

X=a×2(5×b1)+3×(1×c×c4)=2a(5b1)+3(c24)=2a5b+1+3(c24)=2a5b+3(c24)+1. X=a\times2-(5\times b-1)+3\times (1\times c\times c -4)\\{}= 2a-(5b-1)+3(c^2 -4)\\{}= 2a-5b+1+3(c^2 -4)\\{}= 2a-5b+3(c^2 -4)+1.\\

Distributivité de la multiplication sur l’addition

Propriété

Pour tous nombres relatifs aa, bb et cc

 Distr Simple
lumix

Ces égalités s'utilisent dans les deux sens.

  • Transformer de gauche à droite s'appelle Développer.

  • Transformer de droite à gauche s'appelle Factoriser.

Exemple

  • 2×(x+7)=2×x+2×7=2x+14.\textcolor{green}{2}×(x+7)=\textcolor{green}{2}×x+2×7=2x+14.

  • x×(x3)=x×xx×3=x23x.{\color{green}x}\times(x-3)= {\color{green}x}\times x - {\color{green}x}\times 3= x^2-3x.

Propriété

Pour tous nombres relatifs aa, bb, cc et dd

Distr Double Fig1

Exemple

(x+2)×(y+3)=x×y+x×3+2×y+2×3=xy+3x+2y+6.(\textcolor{green}{x}+\textcolor{purple}{2})×(y+3)=\textcolor{green}{x}×y+\textcolor{green}{x}×3+\textcolor{purple}{2}×y+\textcolor{purple}{2}×3=xy+3x+2y+6.

Développer une expression

Définition

Définition

Développer un produit consiste à le transformer en somme (ou en différence).

Développer avec la simple distributivité

Exemple

Développons les expressionsA=7(x+2);B=2(a5)A=7(x+2) \qquad ; \qquad B=-2(a-5)

Solutions

A=7(x+2)=7×x+7×2=7x+14B=2(a5)=2×a(2)×5=2a+10 A={\color{green}7}(x+2)\\{}={\color{green}7}\times x+{\color{green}7}\times 2\\{}=7x+14\\ \\ B={\color{green}-2}(a-5)\\{}={\color{green}-2}\times a-{\color{green}(-2)}\times 5\\{}=-2a+10\\

Développer avec la double distributivité

Exemple

Développons l’expression E=(x+8)(y1)E=(x+8)(y-1)

Solutions

E=(x+8)(y1)=x×yx×1+8×y8×1=xyx+8y8E=({\color{green}x}+{\color{cyan}8})(y-1)\\{}={\color{green}x}\times y -{\color{green}x}\times 1 +{\color{cyan}8}\times y - {\color{cyan}8}\times 1\\{}=xy-x+8y-8\\

Factoriser une expression

Définition

Définition

Factoriser une somme (ou une différence) consiste à la transformer en produit.

Factoriser avec le facteur commun

Définition

D’après la propriété de la distributivité simple :a×b+a×c=a×(b+c){\color{green}a}\times b+{\color{green}a}\times c = {\color{green}a}\times(b+c)

L’expression de droite est une forme factorisée de l’expression de gauche. Le nombre a{\color{green}a} est appelé le facteur commun dans l’expression a×b+a×c{\color{green}a}\times b+{\color{green}a}\times c.

Le facteur commun est un nombre écrit sous forme décimale ou fractionnaire, ou représenté par une lettre ou une expression littérale.

Exemple

Factorisons les expressionsA=2x+6;B=xy+5x;C=3(x+1)+y(x+1).A=2x+6 \qquad ; \qquad B=xy+5x \qquad ; \qquad C=3(x+1)+y(x+1).

Solutions

A=2x+6=2×x+2×3=2×x+2×3=2×(x+3)=2(x+3).B=xy+5x=x×y+5×x=x×(y+5)=x(y+5).C=3(x+1)+y(x+1)=3×(x+1)+y×(x+1)=(x+1)×(3+y)=(x+1)(y+3). A=2x+6\\{}=2\times x+2\times 3\\{}={\color{green}2}\times x+{\color{green}2}\times 3\\{}={\color{green}2}\times (x+ 3)\\{}=2( x+ 3).\\ \\ B=xy+5x\\{}={\color{green}x}\times y+5\times {\color{green}x}\\{}={\color{green}x}\times ( y+ 5)\\{}=x( y+5).\\ \\ C=3(x+1)+y(x+1)\\{}=3\times {\color{green}(x+1)}+y\times {\color{green}(x+1)}\\{}= {\color{green}(x+1)}\times ( 3 + y)\\{}=(x+1)(y+3).\\

Réduire une expression

Définition

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles.

Exemple

Réduisons l’expressionE=12x+32x.E=\frac 1 2 x+\frac 3 2 x.

Solutions

E=12x+32x=(12+32)x=42x=2x E=\frac 1 2 {\color{green}x}+\frac 3 2 {\color{green}x} \\{}=\left(\frac 1 2 +\frac 3 2\right) {\color{green}x} \\{}=\frac 4 2 x \\{}=2 x \\

Remarque

Pour réduire l’expression A=3x+2xA=3x+2x, on n’est pas obligé de factoriser par xx :A=3x+2x=(3+2)x=5x A=3{\color{green}x}+2{\color{green}x} \\{}=(3+2){\color{green}x} \\{}=5x \\

Puisque « trois pommes plus deux pommes font cinq pommes», alors on écrit simplementA=3x+2x=5xA=3x+2x=5x

On peut dire que les deux termes 3x3x et 2x2x sont de la même famille.

Exemple

Réduisons l’expressionE=(x2+3x+2)+(2x2x)1E=(x^2+3x+2)+(2x^2-x)-1

E=(x2+3x+2)+(2x2x)1=x2+3x+2+2x2x1(on supprime les parentheˋses)=x2+2x2+3xx+21(on regroupe les termes de la meˆme famille)=3x2+2x+1.(on reˊduit)E=(x^2+3x+2)+({2x}^2-x)-1\\{}= x^2+3x+2+{2x}^2-x -1 (\text{on supprime les parenthèses}) \\{}= {\color{purple} x^2+{2x}^2}+ {\color{green}3x-x}+ {\color{cyan}2-1} (\text{on regroupe les termes de la même famille}) \\{}= {\color{purple}3x^2}+ {\color{green}2x}+ {\color{cyan}1}.(\text{on réduit}) \\

Identités remarquables

Propriété

Propriété

Pour tous nombres aa et bb(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.(ab)(a+b)=a2b2. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\ (a-b)(a+b)=a^2-b^2.\\

Développer avec les identités remarquables

Exemple

Développons et réduisons les expressionsA=(x+3)2;B=(x1)2;C=(x2)(x+2).A=(x+3)^2 \qquad ; \qquad B=(x-1)^2 \qquad ; \qquad C=(x-2)(x+2).

A=(x+3)2=x2+2×x×3+32=x2+6x+9.B=(x1)2=x22×x×1+12=x22x+1.C=(x2)(x+2)=x222=x24.A=({\color{green}x}+{\color{purple}3})^2\\{}={\color{green}x}^2+2\times {\color{green}x} \times {\color{purple}3}+{\color{purple}3}^2\\{}=x^2+6x+9.\\ \\ B=({\color{green}x}-{\color{purple}1})^2\\{}={\color{green}x}^2-2\times {\color{green}x} \times {\color{purple}1}+{\color{purple}1}^2\\{}=x^2-2x+1.\\ \\ C=({\color{green}x}-{\color{purple}2})( {\color{green}x}+{\color{purple}2})\\{}={\color{green}x}^2-{\color{purple}2}^2\\{}=x^2-4.\\

Factoriser avec les identités remarquables

Exemple

Factorisons les expressionsE=x2+2x+1;F=x26x+9;G=4x225.E=x^2+2x+1 \qquad ; \qquad F=x^2-6x+9 \qquad ; \qquad G=4x^2-25.

Solutions

E=x2+2x+1=x2+2×x×1+12=(x+1)2.F=x26x+9=x22×x×3+32=(x3)2G=4x225=22×x252=(2x)252=(2x5)(2x+5) E= x^2+2x+1 \\{}= {\color{green}x}^2+2\times {\color{green}x}\times {\color{purple}1}+{\color{purple}1}^2\\{}= (x + 1)^2.\\ \\ F= x^2-6x+9 \\{}= {\color{green}x}^2-2\times {\color{green}x}\times {\color{purple}3}+{\color{purple}3}^2\\{}= (x - 3)^2\\ \\ G=4x^2-25 \\{}= 2^2 \times x^2 - 5^2\\{}= ({\color{green}2x})^2 - {\color{purple}5}^2\\{}= ({\color{green}2x} - {\color{purple}5})( {\color{green}2x}+{\color{purple}5})\\

lumix

Mots clés à retenir : Factoriser, Développer, Simplifier, Réduire, Distributivité, Simple, Double, Facteur, Commun, Identité, Remarquable.

Commentaires

ibou sanghare

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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W_athilde

-1
il y a 5 ans
4x+2
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saida tae

0
il y a 3 ans
=2(2x+1)
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Panoramyx

-2
il y a 5 ans
je comprends pas pourquoi  dans (a+b)aucarré = a aucarré + 2ab + b au carré , d'ou sort le 2ab ? logiquement (a+b) au carré = (a+b)x(a+b) donc pas de 2xab , merci de votre aide !
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brevet noir

1
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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Soumaya43

0
il y a 5 ans
bonjour je ne comprends pas quand on fait  a(b fois -c )
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mohamed-lamine kaba

0
il y a 5 ans
enfaiite c pascompliquer
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mohamed-lamine kaba

0
il y a 5 ans
merci
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Louise

1
il y a 4 ans
Merci bcp :-)
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