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Méthode : Médiane, quartiles et moyenne à partir des fréquences

Dans cette vidéo nous allons expliquer ce qu'est la fréquence et la fréquence cumulée d'une valeur dans la série statistique.

Fréquences et fréquences cumulées

Soit une série statistique présentée comme un tableau à effectifs.

Définition

La fréquence d’une valeur est le quotient d'un effectif de la valeur par le total des effectifs.

Si nin_i est l’effectif d’une valeur xix_i et NN l’effectif total, la fréquence correspondante à xix_i est

fi=niNif_ i= \frac{n_i}{N_i}

La méthode pour calculer les fréquences à partir d'un tableau d'effectifs est la suivante:

  1. Calculer le total des effectifs NN.

  2. Pour la fréquence de la valeur demandée, diviser son effectif par l'effectif total. On peut ainsi ajouter une ligne de fréquences à notre tableau d'effectifs.

Exemple

Calculer la fréquences de tous les effectifs du tableau suivant:

On somme la ligne des effectif pour obtenir le nombre total des effectifs NN:

N=3+5+5+2+4=19N=3+5+5+2+4=19

Pour chaque valeur, on divise son effectif par N=19N=19et on ajoute ainsi une ligne de fréquences à notre tableau:

Calculer la fréquences de tous les effectifs du tableau suivant:

On somme la ligne des effectif pour obtenir le nombre total des effectifs NN:

N=2+1+6+5+7+2=23N=2+1+6+5+7+2=23

Pour chaque valeur, on divise son effectif par N=23N=23et on ajoute ainsi une ligne de fréquences à notre tableau:

lumix

La fréquence est toujours un nombre compris entre 00et 11.

lumix

On écrit souvent les fréquences en pourcentage. Par exemple, si on a une fréquence de 0.230.23, on préférera écrire 23%23\% qui est une façon plus courte d'écrire 23100=0.23\dfrac{23}{100}=0.23.

Passons maintenant aux fréquences cumulées. On travaille de nouveau avec une série statistique présentée avec un tableau à effectifs.

Définition

La fréquence cumulée d'une valeur est la somme de toutes les fréquences précédentes, y compris la sienne:

Si f1,f2,...,fif_1,f_2,...,f_i sont les fréquences assosciées aux effectifs x1,x2,...xix_1,x_2,...x_i, on a la fréquence cumulée FiF_i de la valeur xix_i:

Fi=f1+f2+...+fiF _ i ​ =f_ 1 ​ +f _ 2 ​ +...+f _ i ​

Calculer les quartiles à partir de fréquences cumulées

On peut calculer les quartiles d'une série statistque graphiquement à partir des fréquences cumulées. Pour cela, il faut qu'on apprenne à tracer le graphique de fréquences cumulées. Pour traver un tel graphique, on mettra les pourcentages sur l'axe des ordonnées, et les valeurs de la série statitstique sur l'axe des abscisses, comme suit

On place ensuite les valeurs sur l'axe des abscisses et leur fréquence cumulée sur l'axe des ordonnées. On relie ensuite les points obtenus par un segment comme suit:

Maintenant il suffit de prendre l'antécédent des points 25%25\%, 50%50\%, 75%75\% situés sur l'axe des ordonnées. Pour cela on trace une droite horizontale jusqu'à couper la courbe des frequences cumulées, et ensuite une droite verticale jusqu'à couper l'axe des abscisses. L'intersection avec l'axe des abscisses nous donne les valeurs des quartiles:

Exemple

On prend 2020 personnes dans une calsse et on les classe par tranches de tailles de 1010cm. Calculer les fréquences, fréquences cumulées, dresser un graphique de fréquences cumulées et en déduire les trois quartiles.

Notre effectif total est de N=6+4+8+2=20N = 6+4+8+2= 20personnes. On peut donc calculer les fréquences:

Texte alternatif

Les fréquences cumulées sont la somme des fréquences comme suit:

Texte alternatif

On dresse le tableau de fréquences cumulées:

On trace le graphique des fréquences cumulées. On prend l'anctécédent de 25%25\% pour le premier quartile Q1\textcolor{red}{Q_1}, 50%50\% pour le second quartile Q2\textcolor{blue}{Q_2} et 75%75\% pour le troisième quartile Q3\textcolor{green}{Q_3}.

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