Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant par un même nombre non nul les valeurs de l'autre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Un tableau de proportionnalité est un tableau qui comporte deux listes de grandeurs proportionnelles.
Des pommes sont vendues à le kilogramme. Le prix à payer s'obtient en multipliant la masse des pommes achetées par . Le prix est proportionnel à la masse des pommes.On peut présenter cette situation de proportionnalité par un tableau ou un graphique :
Tableau de proportionnalité
Représentation graphique
Dans un repère du plan, plaçons les points qui ont pour abscisse un nombre de la première ligne du tableau () et pour ordonnée le nombre correspondant de la deuxième ligne ().
On remarque que tous ces points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.
La taille d’un individu n’est pas proportionnelle à son âge : « quand l’âge double, la taille ne double pas forcement ! »
Pour reconnaître une situation de proportionnalité entre deux grandeurs, on peut étudier l’existence d’un coefficient de proportionnalité.
Les tableaux ci-dessous sont-ils des tableaux de proportionnalité ?
Solution
Puisque les quotients sont égaux dans toutes les colonnes du premier tableau :donc c’est un tableau de proportionnalité de coefficient .
Les quotients du deuxième tableau sont :Le troisième quotient est différent des deux précédents, il est donc inutile de continuer le calcul. Ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Une situation représentée par des points est une situation de proportionnalité si et seulement si ces points sont alignés avec l’origine du repère.
Le(s)quel(s) de ces trois graphiques représente(nt) une situation de proportionnalité ?
Solution
Les points sont alignés avec l'origine du repère donc c'est une situation de proportionnalité.
Les points ne sont pas alignés donc ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Les points sont alignés mais pas avec l'origine du repère donc ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Les formules donnant le périmètre et l'aire d'un carré à partir de la longueur de son côté sont :
Le périmètre d’un carré est-il proportionnelle à la longueur de son côté ?
L’aire d’un carré est-il proportionnelle à la longueur de son côté ?
Solution
, donc le périmètre d'un carré est obtenu en multipliant la longueur de son coté par . Donc Le périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de son coté. Le coefficient de proportionnalité dans ce cas est .
donc l’aire d'un carré est obtenu en multipliant la longueur de son coté par . Ce n’est pas une valeur constante. Donc L’aire d'un carré n’est pas proportionnel à la longueur de son coté.
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
Méthode 1 : Produits en croix :Donc
Méthode 2 : Coefficient de proportionnalité :
Le coefficient de proportionnalité estDonc
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à .
Dans un collège de élèves, d'entre eux sont des garçons. Quel est le pourcentage de garçons ?
Solution
Méthode 1 : On utilise le tableau de proportionnalité suivant:
D’après la règle du «produits en croix», on doit avoir :
Soit
Le pourcentage des garçons est .
Méthode 2 : Le pourcentage d’une quantité partielle dans une quantité totale est égal à
Donc le pourcentage des garçons dans ce collège est
La quantité partielle correspondante à d’une quantité totale est :
Une boite de céréales pour le petit-déjeuner indique « de fruits ». Déterminer la masse de fruits dans une boite de de ces céréales.
Solution
La quantité de fruits dans cette boite de céréales est :
Un taux d’évolution est un pourcentage d’augmentation ou de diminution d’une quantité.
Augmenter une valeur de revient à la multiplier par .
Diminuer une valeur de revient à la multiplier par .
Une chemise à subit une augmentation de . Quel est son nouveau prix ?
Le jour des soldes, une paire de chaussures à est soldée à . Quel est son nouveau prix ?
Solution
Le nouveau prix de la chemise est :
Le nouveau prix des chaussures est :
On considère une quantité qui subit une évolution pour arriver à une valeur . Le taux d’évolution (en pourcentage) est :
Ma facture d'eau est passée de à . Quel est le taux de diminution exprimé en pourcentage ?
Solution
Le montant de la facture à diminuer de
Lorsqu’un plan (ou carte) est réalisé à l’échelle, les dimensions sur la carte sont proportionnelles aux dimensions réelles. L’échelle d’un plan est le quotient d’une dimension sur le plan par la dimension réelle correspondante, ces dimensions étant exprimées dans la même unité.
Sur une carte à l’échelle , deux villes sont séparées par . Quelle est la distance réelle entre elles ?
Sur la maquette d'une maison à l’échelle , quelle est la taille sur la maquette d’une pièce de de long dans la réalité ?
Solution
On utilise un tableau de proportionnalité et les produits en croix:
donc la distance réelle entre les deux villes est :
D’après le tableau de proportionnalité suivant :
On a
donc la taille de la pièce sur la maquette est :
Sur un plan, une longueur réelle de est représentée par une longueur de . Calculer l’échelle de ce plan ?
Solution
On convertit dans la même unité « » :
D’après la définition de l’échelle :
Mots clés à retenir : Tableau, Produit en croix, Points alignés avec l’origine, Pourcentage, Echelle, Taux.