Leçon 1

Proportionnalité

Repérer une situation de proportionnalité


Définitions


- Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant par un même nombre non nul les valeurs de l'autre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.


- Un tableau de proportionnalité est un tableau qui comporte deux listes de grandeurs proportionnelles.


Exemples


Des pommes sont vendues à 2 eur2\ \text{eur} le kilogramme.

Le prix à payer s'obtient en multipliant la masse des pommes achetées par 2 eur2\ \text{eur} .


Le prix est proportionnel à la masse des pommes.


On peut présenter cette situation de proportionnalité par un tableau ou un graphique :

Tableau de proportionnalité



 Tableau de proportionnalité

Représentation graphique


Dans un repère du plan, plaçons les points qui ont pour abscisse un nombre de la première ligne du tableau (Masse(Kg)Masse(Kg)) et pour ordonnée le nombre correspondant de la deuxième ligne (Prix(eur)\color{green}{ Prix (\text{eur} )}).

 Représentation graphique

On remarque que tous ces points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine OO du repère.



Exemple de non proportionnalité


La taille d’un individu n’est pas proportionnelle à son âge : « quand l’âge double, la taille ne double pas forcement ! »


Reconnaître un tableau de proportionnalité


Pour reconnaître une situation de proportionnalité entre deux grandeurs, on peut étudier l’existence d’un coefficient de proportionnalité.

Exemple


Les tableaux ci-dessous sont-ils des tableaux de proportionnalité ?



 Tableaux de Proportionnalité

Solution


- Puisque les quotients YX\frac YX sont égaux dans toutes les colonnes du premier tableau :

75=1,4;1410=1,4;15,411=1,4;18,213=1,4.\frac {7}{5}=\color{green}{1,4} \quad ; \quad \frac {14}{10}=\color{green}{1,4} \quad ; \quad \frac {15,4}{11}=\color{green}{1,4} \quad ; \quad\frac {18,2}{13}=\color{green}{1,4}.
donc c’est un tableau de proportionnalité de coefficient 1,4\color{green}{1,4}.



- Les quotients BA\frac BA du deuxième tableau sont :
81=8;324=8;9012=7,5.\frac {8}{1}=\color{green}{8} \quad ; \quad \frac {32}{4}=\color{green}{8} \quad ; \quad \frac {90}{12}=\color{red}{7,5}.
Le troisième quotient est différent des deux précédents, il est donc inutile de continuer le calcul. Ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

Reconnaître un graphique représentant une situation de proportionnalité


Propriété


Une situation représentée par des points est une situation de proportionnalité si et seulement si ces points sont alignés avec l’origine du repère.

Exemple


Le(s)quel(s) de ces trois graphiques représente(nt) une situation de proportionnalité ?



 Fig

Solution


a) Les points sont alignés avec l'origine du repère donc c'est une situation de proportionnalité.


b) Les points ne sont pas alignés donc ce n'est pas une situation de proportionnalité.


c) Les points sont alignés mais pas avec l'origine du repère donc ce n'est pas une situation de proportionnalité.



Reconnaître deux grandeurs proportionnelles liées par une formule


Exemples


Les formules donnant le périmètre et l'aire d'un carré à partir de la longueur aa de son côté sont : P=4×a;A=a2P=4\times a \qquad ; \qquad A=a^2
a) Le périmètre d’un carré est-il proportionnelle à la longueur de son côté ?

b) L’aire d’un carré est-il proportionnelle à la longueur de son côté ?


Solution


a) P=4×aP=4\times a, donc le périmètre d'un carré est obtenu en multipliant la longueur de son coté par 44.

Donc Le périmètre d'un carré est proportionnel à la longueur de son coté.
Le coefficient de proportionnalité dans ce cas est 44.


b) A=a×aA=a\times a, donc l’aire d'un carré est obtenu en multipliant la longueur de son coté par aa. Ce n’est pas une valeur constante.
Donc L’aire d'un carré n’est pas proportionnel à la longueur de son coté.


Quatrième proportionnelle - Produits en croix


Exemple


Soit le tableau de proportionnalité suivant :



 Fig

Le nombre x\color{green}{x}, manquant de ce tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle.
Pour le calculer, on peut utiliser :


- Méthode 1 : Produits en croix :
5×x=12×215\times \color{green}{x}=12\times 21
Donc x=12×215=2525=50,4.\color{green}{x}=\frac {12\times 21}{5}=\frac {252}{5}=50,4.

- Méthode 2 : Coefficient de proportionnalité :

 Fig

Le coefficient de proportionnalité est 125=2,4.\frac {12}{5}=\color{purple}{2,4}.
Donc x=21×2,4=50,4.\color{green}{x}=21\times \color{purple}{2,4}=50,4.

Utiliser ou calculer un pourcentage


Définition


Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à 100100.

Calculer un pourcentage


Exemples


Dans un collège de 360360 élèves, 171171 d'entre eux sont des garçons.
Quel est le pourcentage de garçons ?


Solution


Méthode 1 : On utilise le tableau de proportionnalité suivant:

 Pourcentage

D’après la règle du «produits en croix», on doit avoir :
360×p=171×100.360\times \color{green}{p}=171\times 100.
Soit p=171×100360=17100360=47,5.\color{green}{p}=\frac{171\times 100}{360}=\frac{17100}{360}=47,5.
Le pourcentage des garçons est 47,5 %47,5\ \%.


Méthode 2 : Le pourcentage d’une quantité partielle aa dans une quantité totale AA est égal à p=aA×100 %.p=\frac {a}{A}\times 100\ \%.
Donc le pourcentage des garçons dans ce collège est p=171360×100 %=47,5 %.p=\frac {171}{360}\times 100\ \%=47,5\ \%.

Utiliser un pourcentage


La quantité partielle aa correspondante à p %p\ \% d’une quantité totale AA est : a=A×p100.a=A\times \frac {p}{100}.

Exemples


Une boite de céréales pour le petit-déjeuner indique « 25 %25\ \% de fruits ».

Déterminer la masse de fruits dans une boite de 160 g160\ g de ces céréales.


Solution


La quantité de fruits dans cette boite de céréales est : m=160×25100=40 gm=160 \times \frac {25}{100}=40\ g

Utiliser ou calculer un taux d’évolution


Un taux d’évolution est un pourcentage d’augmentation ou de diminution d’une quantité.

Utiliser un taux d’évolution


Propriété


- Augmenter une valeur aa de p %p\ \% revient à la multiplier par (1+p100)(1+\frac p {100}).


- Diminuer une valeur aa de p %p\ \% revient à la multiplier par (1p100)(1-\frac p {100}).


Exemples


1) Une chemise à 60 eur60\ \text{eur} subit une augmentation de 15 %15\ \%.

Quel est son nouveau prix ?


2) Le jour des soldes, une paire de chaussures à 120 eur120\ \text{eur} est soldée à 35 %35\ \%.

Quel est son nouveau prix ?



Solution


1) Le nouveau prix de la chemise est : 60×(1+15100)=69 eur.60\times (1+\frac {15} {100})=69\ \text{eur} .
2) Le nouveau prix des chaussures est : 120×(135100)=78 eur.120\times (1-\frac {35} {100})=78\ \text{eur} .

Calculer un taux d'évolution


Propriété


On considère une quantité a0a_0 qui subit une évolution pour arriver à une valeur aa.

Le taux d’évolution (en pourcentage) est : p=100×aa0a0.p=100\times \frac{a-a_0}{ a_0}.

Exemples


Ma facture d'eau est passée de 280 eur280\ \text{eur} à 210 eur210\ \text{eur} .

Quel est le taux de diminution exprimé en pourcentage ?


Solution
p=100×210280280=25.p=100\times \frac{210-280}{280}=-25.
Le montant de la facture à diminuer de 25 %25\ \%

Utiliser ou calculer une échelle


Définition


Lorsqu’un plan (ou carte) est réalisé à l’échelle, les dimensions sur la carte sont proportionnelles aux dimensions réelles.
L’échelle d’un plan est le quotient d’une dimension sur le plan par la dimension réelle correspondante, ces dimensions étant exprimées dans la même unité.

 Echelle


Utiliser une échelle


Exemples


a) Sur une carte à l’échelle 1500000\frac 1{500 000} , deux villes sont séparées par 4,5 cm4,5\ cm.

Quelle est la distance réelle entre elles ?

b) Sur la maquette d'une maison à l’échelle 150\frac 1{50}, quelle est la taille sur la maquette d’une pièce de 7 m7\ m de long dans la réalité ?


Solution


a) On utilise un tableau de proportionnalité et les produits en croix:

 Echelle

d×1=500000×10,5.d\times 1=500 000\times 10,5.
donc la distance réelle entre les deux villes est :
d=5250000 cm=52,5 Km.\color{green}{d}=5 250 000\ cm=52,5\ Km.
b) D’après le tableau de proportionnalité suivant :

 Echelle

On a 1×7=50×d.1\times 7=50\times \color{green}{d}.
donc la taille de la pièce sur la maquette est : d=750 m=0,14 m=14 cm.\color{green}{d}=\frac {7}{50}\ m=0,14\ m=14\ cm.

Calculer une échelle


Exemples


Sur un plan, une longueur réelle de 54 m54\ m est représentée par une longueur de 27 cm27\ cm.

Calculer l’échelle de ce plan ?


Solution


On convertit dans la même unité « cmcm » : 54 m=5400 cm54\ m=5400\ cm

D’après la définition de l’échelle :
Echelle=275400=1200Echelle = \frac {27}{5400}=\frac {1}{200}