Equations du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation dans laquelle la puissance de l'inconnue est de degré $1$ uniquement.

Voici des exemples d’équations du premier degré à une inconnue:

$x+3=10 \qquad ; \qquad 2x=5 \qquad ; \qquad 7x-4=9 \qquad ; \qquad 8x-4=1-3x.$

Résoudre une équation d'inconnue $x$, c'est déterminer toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l'équation.

La valeur ${\color{green}3}$ est une solution de l’équation ${\color{green}x}+7=10$ car ${\color{green}3}+7=10.$

Résolvons les équations suivantes:

$x+3=10 \qquad ; \qquad 2x=5 \qquad ; \qquad \frac x 6=4 \qquad ; \qquad 7x-4=9.$

Solutions

$+x+3=10 \\ x+3 {\color{green}-3}=10 {\color{green}-3}\\ x+\bcancel{3} {\color{green}-\bcancel{3}}=7\\ x=7.\\ \text{La solution de cette équation est } 7.\\ \\ + 2x=5 \\ \frac {2x}{{\color{green}2}}=\frac 5 {{\color{green}2}} \\ \frac {\bcancel{2}x}{{\color{green}\bcancel{2}}}=\frac 5 {{\color{green}2}} \\ x=\frac 5 2\\ \text{La solution de cette équation est } \frac 5 2.\\ \\ + \frac x 6=4\\ \frac x 6 \times {\color{green}6}=4 \times {\color{green}6}\\ \frac x {\bcancel{6}} \times {\color{green}\bcancel{6}}=4 \times {\color{green}6}\\ x=24\\ \text{La solution de cette équation est } 24.\\ \\ + 7x-4=9 \\ 7x-4+4=9+4 \\ 7x=13 \\ \frac {7x} 7=\frac {13} 7 \\ x=\frac {13} 7 \\ \text{La solution de cette équation est } \frac {13} 7.$

Résolvons les équations suivantes:

$x+4=5 \qquad ; \qquad x-1=7 \qquad ; \qquad 6x=18 \qquad ; \qquad \frac x 3=12 \qquad ; \qquad 11x-2=20.$

Solutions

$x{\color{green}+4} = x = 5 {\color{green}-4} \\ x = 1.\\ \text{La solution de cette équation est } 1.\\ \\ x{\color{green}-1} =7 \\ x = 7 {\color{green}+1} \\ x = 8.\\ \text{La solution de cette équation est } 8.\\ \\ {\color{green}6\times} x=18 \\ x = \frac {18} {{\color{green}6}} \\ x = 3.\\ \text{La solution de cette équation est } 3.\\ \\ \frac x {{\color{green}3}}=12 \\ x = {\color{green}3\times} 12 \\ x = 36.\\ \text{La solution de cette équation est } 36.\\ \\ {\color{green}11\times} x {\color{purple}-2} =20 \\ {\color{green}11\times } x = 20 {\color{purple}+2}\\ {\color{green}11\times } x = 22\\ x=\frac {22}{{\color{green}11}} \\ x=2\\ \text{La solution de cette équation est } 2.$

Trois cousins, Jean, Marie et Serge ont à eux trois $50$ ans. Quel est l'âge de chacun, sachant que Marie a le triple de l'âge de Jean et que Serge a treize ans de moins que Marie ?

Solutions

Choix de l'inconnue

Appelons $x$ l'âge de Jean. On peut exprimer les âges des deux autres cousins en fonction de $x$ :

Mise en équation

On sait par ailleurs que la somme des âges des trois cousins est de $50$ ans, Donc$x + 3x + (3x - 13) = 50.$

Résolution de l'équation$x + 3x + (3x - 13) = 50\\ 4x + 3x - 13 = 50\\ 7x - 13 = 50\\ 7x = 50+13\\ 7x = 63\\ x = \frac {63} 7\\ x = 9\\$

Solution du problème

$(2x+1)(x−3)=0$ est une équation produit nul de facteurs du premier degré.

Résolvons les équations suivantes:

$(x+1)(x-2)=0 \qquad ; \qquad x(2x-6)=0.$

Solutions

${\color{green}(x+1)} \times {\color{purple}(x-2)}=0 \\ {\color{green}x+1=0} \quad \text{ou} \quad {\color{purple}x-2=0} \\ {\color{green}x=0-1}\quad \text{ou} \quad {\color{purple}x=0+2}\\ {\color{green}x=-1}\quad \text{ou} \quad {\color{purple}x=2} \\ \text{Les deux solution de cette équation sont} -1 \text{ et } 2 .\\ \\ {\color{green}x} \times {\color{purple}(2x-6)}=0 \\ {\color{green}x=0} \quad \text{ou} \quad {\color{purple}2x-6=0} \\ {\color{green}x=0} \quad \text{ou} \quad {\color{purple}2x=0+6}\\ {\color{green}x=0} \quad \text {ou} \quad{\color{purple}2x=6}\\ {\color{green}x=0} \quad \text {ou} \quad {\color{purple} x=\frac 6 2.} \\ {\color{green}x=0} \quad \text {ou} \quad {\color{purple} x=3}\\ \text{Les deux solution de cette équation sont } 0 \text{ et } 3.$

Résolvons le système suivant :$2x+y=5 \\ 3x-2y=4 \\$

Solutions

Méthode

Prenons le système précédent$2x+{\color{green}1}\times y=5 \\ 3x{\color{green}-2}y=4 \\$

Solutions

Les coefficients de $y$ dans les deux équations sont ${\color{green}1}$ et ${\color{green}-2}$. Cette méthode consiste à multiplier les membres de l’une des équations par un nombre (ou les deux par deux nombres) pour que les coefficients de l’une des inconnues soient opposés. Dans l’exemple, il suffit de multiplier les membres de la première équation par ${\color{green}2}$ :

${\color{green}2\times }2x+{\color{green}2\times } y={\color{green}2\times }5 \\ 3x {\color{green}-2}y=4 \\$

devient

$4x+{\color{green}2}y=10 \\ 3x-{\color{green}2}y=4 \\$

On additionne membre à membre les deux équations pour faire "disparaître" les $y$ :

$(4x+{\color{green}2}y)+( 3x-{\color{green}2}y)=10+4\\ 4x+{\color{green}2}y+3x-{\color{green}2}y=14\\ 4x+\bcancel{{\color{green}2}y}+3x -\bcancel{{\color{green}2}y}=14\\ 7x=14\\ x=\frac {14} 7\\ x=2\\$

On remplace $x$ par $2$ dans la première équation (la plus simple) et on obtient $y$ :

$2x+y=5\\ 2\times {\color{green}2 }+y=5\\ 4+y=5\\ y=5-4\\ y=1\\$

Le couple solution du système est$(2 ; 1).$

Prenons le système précédent$2x+y=5 \\ 3x-2y=4 \\$