Trigonométrie

Cosinus, Sinus et Tangente d’un angle aigu

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ .

Cosinus

Définition

On appelle cosinus de l’angle aigu $\widehat{ABC}$ , le nombre noté $\cos(\widehat{ABC})$ défini par :

Sinus

Définition

On appelle sinus de l’angle aigu $\widehat{ABC}$ , le nombre noté $\sin(\widehat{ABC})$ défini par :

Tangente

Définition

On appelle tangente de l’angle aigu $\widehat{ABC}$ , le nombre noté $\tan(\widehat{ABC})$ défini par :

Exemple

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$ avec $EF = 5cm$ ; $EG = 12cm$ et $FG = 13cm$ .

Calculer $\cos(\widehat{EGF})$ ; $\sin(\widehat{EGF})$ et $\tan(\widehat{EGF})$ .

Solution

\begin{aligned} &\cos(\widehat{EGF})=\frac{EG}{FG}=\frac{12}{13} \approx 0,92.\\ &\sin(\widehat{EGF})=\frac{EF}{FG}=\frac{5}{13} \approx 0,38.\\ &\tan(\widehat{EGF})=\frac{EF}{EG}=\frac{5}{12} \approx 0,41.\\ \end{aligned}

Propriétés

Propriété

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre $0$ et $1$ .
La tangente d'un angle aigu est un nombre supérieur à $0$ .
Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des nombres sans unité.

Calcul de longueur avec le cosinus, sinus et tangente

Exemple

Soit $ABD$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 9 cm$ et $\widehat{BAD} = 40°$ . Calculer les longueurs $AD$ et $BD$ .

Solution

Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$ , donc :

L’hypoténuse est $[AD]$ .
Le coté adjacent à l’angle $\widehat{BAD}$ est $[AB]$ .
Le coté opposé à l’angle $\widehat{BAD}$ est $[BD]$ .

D’où

\begin{aligned} \cos(\widehat{BAD})&=\frac{AB}{{\color{green}AD}}\\ \cos(40°)&=\frac{9}{{\color{green}AD}}\\ \frac{\cos(40°)}1&=\frac{9}{{\color{green}AD}}\\ \cos(40°)\times {\color{green}AD}&=1 \times 9 \qquad \text{(Produit en croix)}\\ {\color{green}AD}&=\frac{9}{ \cos(40°)} \\ {\color{green}AD}&\approx 11,75cm.\\ \end{aligned}

D’autre part

\begin{aligned} \tan(\widehat{BAD})&=\frac{{\color{purple}BD}}{AB}\\ \tan(40°)&=\frac{{\color{purple}BD}}{9}\\ {\color{purple}BD}&=9\times \tan(40°) \qquad \quad \text{(Produit en croix)}\\ {\color{purple}BD}&\approx 7,55cm. \\ \end{aligned}

Calcul d'angle avec le cosinus, sinus et tangente

Exemple

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $F$ avec $EF = 2, 6 cm$ et $EG = 4 cm$ . Calculer l’angle $\widehat{EGF}$ .

Solution

Le triangle $EFG$ est rectangle en $G$ , donc :

L’hypoténuse est $[FG]$ .
Le coté adjacent à l’angle $\widehat{EGF}$ est $[FG]$ .
Le coté opposé à l’angle $\widehat{EGF}$ est $[EF]$ .

Dans ce triangle, on connait le coté opposé à l’angle $\widehat{EGF}$ et L’hypoténuse donc on peut utiliser le $sinus$ :

\begin{aligned} \sin({\color{green}\widehat{EGF}} )&=\frac{EF}{EG}\\ \sin({\color{green}\widehat{EGF}} )&=\frac{2,6}{4}\\ \sin({\color{green}\widehat{EGF}})&=0,56\\ {\color{green}\widehat{EGF}}&= \sin^{-1}(0,56)\\ {\color{green}\widehat{EGF}}&= \sin^{-1}(0,56)\\ {\color{green}\widehat{EGF}}&= 40,54°.\\ \end{aligned}

Remarque

Remarques techniques liées à l’utilisation de la calculatrice scientifique

Il faut régler la calculatrice sur l’unité degré « DEG » ou « D » (voir l’image).
Les touches « $\cos$ » ; « $\sin$ » et « $\tan$ » servent à calculer le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle connu.
Les touches « $\cos^{-1}$ » ; « $\sin^{-1}$ » et « $\tan^{-1}$ » servent à calculer l’angle à partir de son cosinus, son sinus ou sa tangente.

Mots clés à retenir : Hypoténuse, Coté adjacent, Coté opposé, Triangle rectangle.

Trigonométrie

Cosinus, Sinus et Tangente d’un angle aigu

Cosinus

Définition

Sinus

Définition

Tangente

Définition

Exemple

Propriétés

Propriété

Calcul de longueur avec le cosinus, sinus et tangente

Exemple

Calcul d'angle avec le cosinus, sinus et tangente

Exemple

Remarque

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