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Statistiques - Paramètres

Vocabulaire, effectif et fréquence

Vocabulaire

Définition

Population: c’est l’ensemble soumis à une étude statistique.

Individu: c’est un élément de la population.

Effectif total : c’est le nombre total d'individus dans la population.

Caractère: c’est la propriété étudiée. Suivant les cas, le caractère peut être quantitatif (la taille, l'âge, les salaires ... ) ou qualitatif (couleur des yeux, le groupe sanguin, les sports pratiqués ...).

Série statistique : c’est l’ensemble des données collectées.

Exemple

On considère les résultats d'un devoir d'une classe de 2525élèves :

12,8,11,10,12,11,13,7,13,11,10,11,12,11,10,7,16,10,11,13,12,8,16,12,712,8,11,10,12,11,13,7,13,11,10,11,12,11,10,7,16,10,11,13,12,8,16,12,7

La population étudiée est l'ensemble des élèves (individus) de la classe. L’effectif total est 2525 et le caractère étudie est la note obtenue au devoir (c’est un caractère quantitatif).

Effectif et fréquence

Définition

L’effectif d’une valeur xix_i du caractère est le nombre nin_i d’individus qui possèdent ce même caractère.

La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de la valeur par l’effectif total : Soient nin_i l’effectif d’une valeur xix_i du caractère et NN l’effectif total. La fréquence correspondant à xix_i est

fi=niNi​​f _ i ​ = \frac{n _ i}{ N_i} ​ ​
lumix

Attention : La fréquence est un nombre compris entre 00 et 11.

Définition

La fréquence en pourcentage est l'écriture de la fréquence sous forme de pourcentage :

pi=fi×100%.p _ i ​ =f_ i ​ ×100 \%.

C'est-à-dire

pi=n1Ni×100%.(Nestleffectiftotal)p _ i ​ = \frac{n_1}{N_i} ​ ×100 \%.(N est l’effectif total)

Exemple

Pour simplifier l’étude de la série statistique brute de l’exemple précédent, on classe les données dans ce qu’on appelle tableau des effectifs :

Texte alternatif

Par exemple, On observe que 3{\color{green}3} élèves ont la note 77 donc l’effectif de la valeur 77 est 3{\color{green}3}. La série statistique définie par les effectifs nin_i, les fréquences fif_i et les fréquences en pourcentage pip_i, est la suivante :

La fréquence de la note 77 est :

f1=n125=325=0,12.f _ 1 ​ = \frac{n_1}{25} = \frac{3}{25} =0,12.

Autrement

p1=ni25×100%=325×100%=12p _ 1 ​ = \frac{n_i}{25} ​ ×100 \%= \frac{3}{25}​ ×100 \%=12 %.

Regroupement par classes

Pour faciliter l'exploitation et la présentation de certaines séries statistiques, on peut regrouper les données en classes.

Exemple

Voici la liste des tailles en centimètre de 3030 élèves: 174160161166152172157158162169160165170152168156163174 - 160 - 161 - 166 - 152 - 172 - 157 - 158 - 162 - 169 - 160 - 165 - 170 - 152 - 168 - 156 - 163 167169158164151162166156165157160170166.167 - 169 - 158 - 164 - 151 - 162 - 166 - 156 - 165 - 157 - 160 - 170 - 166.

La population étudiée est l'ensemble des élèves, l’effectif total est 3030 et le caractère étudie est la taille.

Dans le tableau ci-dessous, la série est regroupée en classes d'amplitude 4 cm4\ cm :

Par exemple on observe que 3{\color{green}3} élèves seulement ont une taille comprise entre 150 cm150\ cm et 154 cm154\ cm. On dit que l’effectif de la classe « Entre 150150 et 154154 » est n1=3n_1={\color{green}3}.

Moyenne d'une série statistique

Définition

Définition

La moyenne d’une série statistique simple (sans effectifs) x1,x2,,xNx_1 , x_2, …, x_N est

m=x1+x2++xNN​​m= \frac{ x _ 1 ​ +x_ 2 ​ +…+x _ N}{N} ​ ​

Avec NN est l’effectif total de la série.

Définition

La moyenne d’une série statistique pondérée (avec des effectifs) (x1,n1),(x2,n2),,(xp,np)(x_1, n_1) , (x_2, n_2), …, (x_p, n_p) est

m=n1×x1+n2×x2++np×xpNm= \frac{ n _ 1 ​ ×x _ 1 ​ +n _ 2 ​ ×x _ 2 ​ +…+n _ p ​ ×x _ p ​ } {N} ​

Avec N=n1+n2++npN= n_1 + n_2 + … +n_p est l’effectif total de la série.

Exemple de série simple

Définition

Voici le temps consacré, en minutes, au petit-déjeuner par 2020 personnes.

11,12,1,9,15,11,13,10,4,8,7,8,14,12,14,9,6,9,7,411,12,1,9,15,11,13,10,4,8,7,8,14,12,14,9,6,9,7,4

La moyenne est

m=11+12+1+9+15+11+13+10+4+8+7+8+14+12+14+9+6+9+7+420=18420=9.2m = \frac{11+12+1+9+15+11+13+10+4+8+7+8+14+12+14+9+6+9+7+4}{20}\\ ​ =\frac{184}{20} = 9.2

Exemple de série pondérée

Exemple

Voici les notes d’une classe de troisièmes à un contrôle de maths :

L’effectif total est N=2+4+5+7+7+6+2+1=34N=2+4+5+7+7+6+2+1=34

La moyenne est

m=2×7+4×9+5×10+7×11+7×12+6×15+2×18+1×2034=40734=11.97m = \frac{2×7+4×9+5×10+7×11+7×12+6×15+2×18+1×20}{34}\\ = \frac{407}{34} = 11.97

Médiane + étendue

Définitions

Définition

La médiane MM d'une série dont les valeurs sont rangées par ordre croissant telle qu'il y ait au moins la moitié de l'effectif inférieur à cette valeur.

Définition

L'étendue d'une série est la différence entre sa valeur la plus grande et sa valeur la plus petite.

Méthode pour calculer la médiane

lumix

Si ce n’est pas déjà fait, on range les valeurs de la série dans l’ordre croissant.

On calcule l’effectif total de la série étudiée. Appelons le NN.

Cas où NN est impair : On calcule k=N+12k=\dfrac{N+1}{2}. La médiane est la keˋmek^{ème} valeur de la série ordonnée

Cas où NN est pair : On calcule k=N2k=\dfrac{N}{2}. Si on note respectivement xkx_k et xk+1x_{k+1} la keˋmek^{ème} et la (k+1)eˋme(k+1)^{ème} valeur de la série ordonnée, alors La médiane est

M=xk+xk+12M = \frac{x _ k ​ +x _ k+1}{2}

Exemples

Exemple

Détermine une valeur médiane, ainsi que l'étendue de ces deux séries statistiques :

Solution

Série 1

On range la série dans l’ordre croissant :

L’effectif total est 55, c’est impair. On calcule 5+12=3\dfrac{5+1}2=3. La médiane est la 3eˋme3^{ème} valeur dans la série ordonnée, c'est-à-dire 55.

L'étendue est : 92,4=6,6.9-2,4=6,6.

Série 2 :

On range la série dans l’ordre croissant.

L’effectif total est 88, c’est pair. On calcule 82=4\dfrac8 2=4. La médiane se situe entre la 4eˋme4^{ème} et la 5eˋme5^{ème} valeur de la série ordonnée, c'est-à-dire entre 44 et 66. On calcule la demi-somme :

4+62=102=5 \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5

La médiane vaut donc 55.

L'étendue est : 101=9.10-1=9.

lumix

Mots clés à retenir : Effectif, Fréquence, Moyenne, Médiane, Etendue.

Commentaires

mayssa

0
il y a 5 ans
limite et continuite!!
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thouguex

0
il y a 5 ans
c'est trop bien ce site
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thouguex

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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thouguex

0
il y a 5 ans
c'est cool
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thouguex

0
il y a 5 ans
sarah jtm
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thouguex

0
il y a 5 ans
merci mathrix
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thouguex

0
il y a 5 ans
merci qui
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thouguex

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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thouguex

-1
il y a 5 ans
lolcat thouguox
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thouguex

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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fleurette

0
il y a 5 ans
bonjour je voudrai savoir qu'elle calcule je doit faire pour trouvée le fi et le pi merci
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fleurette

0
il y a 5 ans
Réponds..
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fleurette

0
il y a 5 ans
c'est bon j'ai trouvée
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