Racine carrée

Racine Carrée

Définition

Si $a$ désigne un nombre positif, on appelle racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , le nombre positif dont le carré est $a$ , C'est-à-dire

\text{ si } \ {\color{purple}a}={\color{green}b}^2 \ \text{avec}\ {\color{green}b}>0\ \text{ alors }\ \sqrt{{\color{purple}a}}={\color{green}b}.

Exemple

$\sqrt{9}=3$ car $9=3^2$ et $3$ est positif. $\sqrt{25}=5$ car $25=5^2$

Racines à retenir :

$\sqrt{0}=0$
$\sqrt{1}=1$
$\sqrt{4}=2$
$\sqrt{9}=3$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{25}=5$
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{100}=10.$

Les entiers $0;\ 1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49;\ 64;\ 81;\ 100; …$ s’appellent carrés parfaits

Attention : $9=3^2$ et $9=(-3)^2$ mais la racine carrée de $9$ est uniquement le nombre positif $3$ .

Remarque

On ne peut pas toujours donner une valeur décimale exacte de la racine carrée d'un nombre positif. Par exemple, $\sqrt{2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $2$ ( $\left( \sqrt{2}\right)^2=2$ ). Une valeur approchée de $\sqrt{2}$ est $1,414$ .

Propriétés fondamentales des racines carrées

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs

\begin{aligned} \sqrt{a\times b} &= \sqrt{a} \times \sqrt{b} \\ \sqrt{\frac a b} &= \frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} \quad (b \neq 0)\\ \left( \sqrt{a}\right)^2&=a\\ \sqrt{a^2} &=a \\ \end{aligned}

Exemple

Ecrire les nombres $\sqrt{8}$ , $\sqrt{12}$ et $\sqrt{45}$ sous la forme $a \sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des entiers.
Calculer \sqrt{\frac{25}{36}} \quad \text{et} \quad \sqrt{0,16}.

Solution

\begin{aligned} \sqrt{8} &= \sqrt{4\times 2} \\ &= \sqrt{4}\times \sqrt{2} \\ &= 2 \sqrt{2} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt{12} &= \sqrt{4\times 3} \\ &= \sqrt{4}\times \sqrt{3} \\ &= 2 \sqrt{3} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt{45} &= \sqrt{9\times 5} \\ &= \sqrt{9}\times \sqrt{5} \\ &= 3 \sqrt{5}.\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt{\frac{25}{36}} &= \frac {\sqrt{25}} {\sqrt{36}} \\ &= \frac {\sqrt{5^2}} {\sqrt{6^2}} \\ &= \frac {5} {6}. \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt{0,16} &= \sqrt{\frac{16}{100}} \\ &= \frac {\sqrt{16}} {\sqrt{100}} \\ &= \frac {\sqrt{4^2}} {\sqrt{10^2}} \\ &= \frac {4} {10} \\ &= 0,4. \\ \end{aligned}

Attention : $\sqrt{ a + b } \not = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Equation x²=a

Propriété

Soit l’équation $x^2 = a$ , où $x$ est l'inconnue et $a$ est un nombre :

Si $a>0$ alors $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ sont les deux uniques solutions de l’équation.
Si $a=0$ alors $0$ est l’unique solution de l’équation.
Si $a<0$ alors l’équation n’admet pas de solution.

Exemple

Résolvons les équations suivantes :

x^2 = 16 \quad ; \quad x^2 = 3 \quad ; \quad x^2 = 0 \quad ; \quad x^2 = -25.

Solution

Puisque $16>0$ alors l’équation $x^2 = 16$ admet deux solutions : $\sqrt{16}=4$ et $-\sqrt{16}=-4$ .
L’équation $x^2 = 3$ admet deux solutions : $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$ .
L’unique solution de l’équation $x^2 = 0$ est $0$ .
L’équation $x^2 = -25$ n’admet pas de solution car $-25<0$

Mots clés à retenir : Carré, Carré parfait, Propriétés fondamentales.

Racine carrée

Racine Carrée

Définition

Exemple

Remarque

Propriétés fondamentales des racines carrées

Propriété

Exemple

Equation x²=a

Propriété

Exemple

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