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Nombre rationnel et fraction

Définition

Définition

Une fraction est un quotient d'entiers aa et bb (avec b0b \neq 0) écrit sous forme fractionnaire :ab.\frac a b.aa est appelé le numérateur et bb le dénominateur.

Multiplication de fractions

Propriété

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Soient aa, bb, cc et dd des entiers relatifs tels que b0b\neq 0 et d0d\neq 0:ab×cd=a×cb×d.\frac a b \times \frac c d = \frac {a\times c}{b \times d}.

Exemple

37×58=3×57×8=1556\frac{3}{7} \times \frac{5}{8} = \frac{3\times5}{7\times8} = \frac{15}{56}

Propriété

Pour multiplier un nombre et une fraction il suffit de multiplier le numérateur par ce nombre en gardant le même dénominateur.

Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs tels que b0b\neq 0 :c×ab=c×ab.c\times \frac a b= \frac {c\times a}b.

Ou bienc×ab=c1×ab=c×a1×b=c×ab.c\times \frac a b= \frac c 1 \times \frac a b = \frac {c\times a}{1 \times b}= \frac {c\times a}b.

Exemple

9×211=9×211=18119 \times \frac{2}{11} = \frac{9\times2}{11} = \frac{18}{11}

Simplifier une fraction

Propriété

On ne modifie pas la valeur d’une fraction si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Soient aa, bb et kk des entiers relatifs tels que b0b\neq 0 et k0k\neq 0 :ab=a×kb×k.\frac a b= \frac {a\times k}{b \times k}.

lumix

Pour simplifier une fraction on doit avoir le réflexe d’utiliser la règle précédente dans le sens inverse :a×kb×k=ab\frac {a\times k}{b \times k} = \frac a b

Exemple

615=2×35×3=2×35×3=25\frac {6}{15}=\frac{{2\times {\color{green}3}}}{{5\times {\color{green}3}}} = \frac{{2\times \cancel{{\color{green}3}}}}{{5\times \cancel{{\color{green}3}}}} = \frac 2 5

Définition

Une fraction est dite irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.

Exemple

Les fractions suivantes sont irréductibles :25;109;47.\frac 2 5 ; \quad \frac {10} 9 ; \quad \frac 4 7.

Egalité de fractions et produit en Croix

Propriété

Soient aa, bb, cc et dd des entiers relatifs tels que b0b\neq 0 et d0d\neq 0.

l'égalité ab=cd\dfrac a b = \dfrac c d est équivalente à a×d=b×c.a\times d= b\times c.

Exemple

  • On a2820=4×74×5=4×74×5=75.\frac {28}{20}=\frac {{\color{green}4}\times 7}{{\color{green}4} \times 5}=\frac {\bcancel{{\color{green}4}}\times 7}{\bcancel{{\color{green}4}} \times 5}=\frac 7 5.Donc les deux fractions 2820\dfrac {28}{20} et 75\dfrac 7 5 sont égales.

  • Comme35×2=10×735\times 2 = 10\times 7alors3510=72.\frac {35}{10} =\frac 7 2.

Addition et soustraction de fractions

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on garde le dénominateur et on additionne (ou soustrait) les numérateurs.

Soient aa, bb et nn des entiers relatifs tels que n0n\neq 0 :an+bn=a+bn.\frac a n + \frac b n = \frac {a+b} n.anbn=abn.\frac a n - \frac b n = \frac {a-b} n.

Exemple

45+75=4+75=115\frac 4 5 + \frac 7 5 = \frac {{4+7}} {{5}} = \frac {{11}} 5

1316116=13116=1216=34\frac {{13}} {{16}} - \frac 1 {{16}} = \frac {{13-1}} {{16}} = \frac {{12}} {{16}} = \frac 3 4

Propriété

Soient aa, bb, cc et dd des entiers relatifs tels que b0b\neq 0 et d0d\neq 0:ab+cd=a×d+b×cb×d.\frac a b + \frac c d = \frac {a \times d + b \times c} {b \times d}.abcd=a×db×cb×d.\frac a b - \frac c d = \frac {a \times d - b \times c} {b \times d}.

Exemple

45+107=4×7+5×105×7=7835 \frac 4 5 + \frac {{10}} 7 = \frac {{4\times7+5\times10}}{{5\times7}}=\frac{{78}}{{35}}

Remarque

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les transforme au même dénominateur (si ce n’est pas déjà le cas) puis on ajoute (ou soustrait) les numérateurs obtenus et enfin, on simplifie la fraction si c’est possible.

Exemple

12+56=1×32×3+56=36+56=3+56=86=43\frac 1 2 + \frac 5 6 = \frac {{1\times \textcolor{green}{3}}}{{2\times \textcolor{green}{3}}} + \frac 5 6 = \frac 3 6 + \frac 5 6 = \frac {{3+5}} 6 = \frac 8 6 = \frac 4 3

Division de fractions

Inverse d’une fraction

Définition

L’inverse d’une fraction ab\dfrac a b est la fraction ba\dfrac b a et on écrit1ab=ba.\frac 1{\frac a b}=\frac b a.

Division de deux fractions

Propriété

Soient aa, bb, cc et dd des entiers relatifs tels que b0b\neq 0, c0c\neq 0 et d0d\neq 0 :abcd=ab×dc=a×db×c\frac {\frac a b}{\frac c d }= \frac a b \times \frac d c = \frac {a\times d}{b \times c}

Propriété

Soient aa, bb et cc des entiers relatifs tels que b0b\neq 0 et c0.c\neq 0.abc=a×cb=a×cb.\frac{a}{\frac{b}{c}}= a \times \frac{c}{b} =\frac{a \times c}{b}.abc=ab×1c=ab×c.\frac{\frac{a}{b}}{c}= \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} =\frac{a}{b \times c}.

lumix

Vous pouvez vérifier facilement queabcb=abcb=ac.\frac{\frac a b}{\frac c b }=\frac {\frac a {\bcancel{b}}}{\frac c {\bcancel{b}}}= \frac a c.abac=abac=cb.\frac{\frac a b}{\frac a c }=\frac {\frac {\bcancel{a}} b}{\frac {\bcancel{a}} c}= \frac c b.

lumix

Mots clés à retenir: Fraction, Numérateur, Dénominateur, Simplifier, \\Irréductible, Multiplication, Addition, Soustraction, Division.

Commentaires

tca2308

0
il y a 5 ans
merci grâce à ce cours j'ai compris ce que ma prof de math n'a pas réussi à m'expliquer en 2 mois.
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Kimam

1
il y a 5 ans
mdr heu tu arrête je suis ta prof de math et demain je te met 3 heures de colle Réponds..
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lafootbaleuse.9

0
il y a 5 ans
comment bien retenir pour un contrôle ?
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Clément

0
il y a 5 ans
c'est super
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Clément

0
il y a 5 ans
STP c'est vraiment dommage que ce soit payant :( mais sinon, ce site est super ;)
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Clément

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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Clément

0
il y a 5 ans
...
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Clément

0
il y a 5 ans
cool
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Clément

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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Clément

0
il y a 5 ans
5/2 5*1/2
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rezzoukreda@hotmail.com

0
il y a 5 ans
2.5
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carla

0
il y a 5 ans
qui as compris ?
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ambre.dllat

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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nouriati29

0
il y a 4 ans
j'ai une difficulté math j'ai pas a bien comprendre les chose
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Nassim

0
il y a 3 ans
qu'est-ce qu'un nombre nul?
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