Inégalité et inéquations

$2x-1 \leq x+3$ est une inéquation où l'inconnue est désignée par la lettre $x$. « $2x-1$ » et « $x+3$ » sont le premier et le deuxième membre de l’inéquation.

Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation dans laquelle la puissance de l'inconnue est de degré $1$ uniquement.

Voici des exemples d’inéquations du premier degré à une inconnue:

$4x≤15 \hspace{5mm}; \hspace{5mm} x+6>0 \hspace{5mm}; \hspace{5mm} 3x−1≥2 \hspace{5mm}; \hspace{5mm} −2x+1$

Résoudre une inéquation d'inconnue $x$, c'est déterminer toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'inégalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l'inéquation.

Résolvons les inéquations suivantes:

$x+5>0 \hspace{5mm}; \hspace{5mm} 3x≤12 \hspace{5mm}; \hspace{5mm} 6x−1≥8\hspace{5mm}; \hspace{5mm} −2x+7<11.$$\\$

Solution

$x+5>0 \\ x+5{\color{green}-5}>0{\color{green}-5}\\ x+\bcancel{5}{\color{green}-\bcancel{ 5}}>{\color{green}-5}\\ x>-5\\$

Les solutions sont tous les nombres supérieurs strictement à $-5$.

$\\$$3x\leq 12 \\ \frac {3x}{{\color{green}3}}\leq \frac {12} {{\color{green}3}} \quad ({\color{green} 3>0 })\\ \frac {\bcancel{3}x}{{\color{green}\bcancel{3}}}\leq 4 \\ x\leq 4\\$

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$.

$\frac x 6 -1\geq 8 \\ \frac x 6 -1{\color{green}+1}\geq 8{\color{green}+1}\\ \frac x 6 -\bcancel{1}{\color{green}+\bcancel{1}}\geq 9\\ \frac x 6 \geq 9\\ \frac x 6 {\color{green}\times 6} \geq 9 {\color{green}\times 6} \quad ({\color{green} 6>0 })\\ \frac x {\bcancel{6}}{{\color{green}\times \bcancel{6}}}\geq 54 \\ x\geq 54 \\$

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $54$

$-2x+7<11 \\ -2x+7{\color{green}-7}< 8{\color{green}-7}\\ -2x+\bcancel{7}{\color{green}-\bcancel{7}}< 1\\ -2x< 1\\ \frac {-2x}{{\color{green}-2}} \color{purple}> \frac 1 {{\color{green}-2}} \quad ({\color{green} -2<0 })\\ \frac {\bcancel{-2}x}{{\color{green}\bcancel{-2}}}\color{purple}> -\frac1 2 \\ x\color{purple}> -\frac1 2 \\$

Les solutions sont tous les nombres supérieurs strictement à $-\dfrac1 2$.

Résolvons les inéquations suivantes:

$2x+6<14\hspace{5mm};\hspace{5mm}−9x+1≤19\hspace{5mm};\hspace{5mm}x+2≥6x−8.$

Solution

$2x+6<14\\ 2x<14{\color{green}-6}\\ 2x<8\\ x<\frac8 {{\color{green}2}} \qquad ({\color{green}2>0})\\ x<4\\$

Les solutions sont tous les nombres inférieurs strictement à $4$

$-9x+1\leq 19 \\ -9x\leq 19{\color{green}-1}\\ -9x\leq 18\\ x\color{green}\geq \frac{18} {{\color{green}-9}} \qquad ({\color{green}-9<0})\\ x\color{green}\geq -2\\$

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $-2$.

$x+2\geq 6x-8 \\ x{\color{green}-6x}\geq -8{\color{green}-2}\\ -5x \geq -10\\ x\color{green}\leq \frac{-10} {{\color{green}-5}} \qquad ({\color{green}-5<0})\\ x\color{green}\leq 2\\$

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$.