On considère deux nombres et .
Une fonction affine (de coefficients et ), est une fonction qui à tout nombre associe le nombre :
Si , cette fonction affine s’appelle fonction linéaire :
Si , cette fonction affine devient fonction constante :
Parmi les fonctions suivantes, déterminer les fonctions affines, les fonctions linéaires et les fonctions constantes.
f(x)=2x
g(x)=5x−3
h(x)=7
k(x)=1−4x.
Solution
est une fonction linéaire de coefficient .
est une fonction affine de coefficients et .
est une fonction constante.
est une fonction affine de coefficients et .
A partir d’un point du plan, on définit un déplacement vers la droite et un déplacement vers le haut comme étant tous les deux positifs ; et on définit un déplacement vers La gauche et un déplacement vers le bas comme étant négatifs.
On considère sur la droite trois points , et (figure ci-dessous).
Pour aller de à , on fait un déplacement horizontal de unités (vers la droite) suivi d’un déplacement vertical de (vers le haut).
Pour aller de à , on fait un déplacement horizontal de (vers la gauche) suivi d’un déplacement vertical de (vers le bas).
Soit une fonction affine définie par . La représentation graphique de dans le plan muni d'un repère est une droite (non parallèle à l'axe des ordonnées).
Cette droite est appelée droite d'équation .
est le coefficient directeur de .
est l’ordonnée à l’origine.
Interprétation géométrique de et
La droite coupe la droite des ordonnées au point .
Pour aller de ce point vers un autre point quelconque de la droite , on fait un déplacement horizontal suivi d’un déplacement vertical . On remarque toujours que :
Pour tracer la droite d’une fonction affine , nous avons besoin de deux points qui correspondent à deux images :
Méthode 1
On prend deux images , puis on trace les deux points .
On trace la droite qui n’est autre que .
Méthode 2
On trace le point .
On écrit le coefficient directeur sous forme de fraction rationnelle :
On part du point et on fait un déplacement horizontal de suivi d’un déplacement vertical de , on s’arrête sur un point . Résultat :
Représenter graphiquement la fonction affine
Solution
Méthode 1
La représentation graphique de est une droite . Il suffit donc de connaître les coordonnées de deux de ses points : On choisit deux images, par exemple donc avec .
Méthode 2
L’équation de est .
On trace le point .
On écrit le coefficient directeur sous forme de fraction rationnelle :
On part du point et on fait un déplacement horizontal de suivi d’un déplacement vertical de , on arrive au point , donc :
La représentation graphique d'une fonction linéaire () est une droite passant par l'origine du repère, donc les coordonnées d'un seul autre point suffisent pour tracer cette droite.
La représentation graphique d'une fonction constante () est une droite parallèle à l'axe des abscisses, donc le point suffit pour la tracer.
Représenter graphiquement les fonctions suivantes :
Solution
La fonction est linéaire, donc sa droite passe par l’origine . D’après l’image , passe aussi par le point , donc (figure ci-dessous).
La fonction est constante (de valeur ), donc sa droite est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point (figure ci-dessous).
Si est la droite d’une fonction affine , et et sont deux points différents de cette droite, alorsLe nombre est appelé taux de croissancede entre et .
Déterminer la fonction affine telle que et .
Solution
Cherchons et tels que .
Méthode 1 : Taux de croissance
On calcule le coefficient . Puisque et donc d’après la propriétéLa fonction est telle que
On cherche maintenant à déterminer .Conclusion :
Méthode 2 : Système d’équations
On a
donc
puisque et , donc
On résout ensuite ce système soit par substitution ou par combinaison.
D’où :
Mots clés à retenir : Droite, Équation, Coefficient directeur, Ordonnée à l’origine.