Les Vecteurs

Soient $A$ et $B$ deux points du plan. La translation qui transforme $A$ en $B$ est la transformation qui associe à tout point $M$ du plan l'unique point $N$ tel que $ABNM$ soit un parallélogramme (éventuellement aplati : les points $A$, $B$, $M$ et $N$ sont alignés) (voir figure ci-dessous)

On dit alors que les points $A$ et $B$ (pris dans cet ordre) et que les points $M$ et $N$ (pris dans cet ordre) représentent la même translation associé à un seul vecteur noté $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{MN}$. On écrit $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}$

$\vec{AB}$ = $\vec{CD}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.

$\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si les deux segments

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $A$ un point quelconque du plan. La construction de la somme $\vec{u}+\vec{v}$ peut se faire de deux manières :

Méthode de Chasles : Il existe un unique point $B$ tel que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et il existe un unique point $C$ tel que $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$. Donc d’après la relation de Chasles (voir la figure ci-dessous) :

Méthode du parallélogramme : Il existe un unique point $B$ tel que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et il existe un unique point $C$tel que $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. La somme de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (c'est-à-dire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$) est le vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (voir la figure ci-dessous).

Conclusion : $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.$

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ :

L’opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{BA}$.

$\vec{u} + (- \vec{u} ) = \vec{0}$

La différence de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (notée $\vec{u} - \vec{v}$) est la somme de $\vec{u}$ et de l'opposé de $\vec{v}$.

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tous nombres réels $a$ et $b$:

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ (On peut appeler $k$, coefficient de colinéarité des deux vecteurs).

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. C'est-à-dire : « $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ ».

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. C'est-à-dire : « $(AB)//(CD)$ si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{CD} = k \overrightarrow{AB}$ ».

Le plan est muni d’un repère $(O; I, J)$.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.

Dans un repère $(O; I, J)$, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ tels que $A(x_A ;y_A)$ et $B(x_B ;y_B)$, sont $( x_B-x_A ; y_B-y_A )$.

Pour tous vecteurs $\vec{u}(x ;y)$ et $\vec{v}(x' ;y')$ et pour tout nombre réel $k$ :

Deux vecteurs $\vec{u}(x ;y)$ et $\vec{v}(x' ;y')$ sont colinéaires si et seulement si :