Fonction croissante et décroissante

Dans cette vidéo, on va introduire une manière équivalente de définir la croissance ou la décroissance d'une fonction.

Fonctions croissantes et décroissantes

Pour les fonctions croissantes, imaginons qu'on monte une montagne. Dans ce cas, plus le temps passe, plus on se retrouve haut. C'est exactement le principe d'une fonction croissante: plus $x$ grandit (le temps dans notre exemple), plus $f(x)$ augmente (l'altitude). Graphiquement, on a vu que ça donne une courbe qui monte, comme une pente de montagne.

Pour les fonctions décroissantes, imaginons cette fois qu'on descende une montagne. Plus le temps passe, plus bas on se retrouve. Donc plus $x$ grandit (le temps), plus $f(x)$ (l'altitude toujours) diminue. Le graphe cette fois-ci fait penser à une montagne qu'on descend.

Il existe des fonctions, comme $x^2$ , qui peuvent être décroissantes à un endroit et croissantes à un autre. Dans un tel cas, il faut préciser sur quel intervalle elle est croissante, et sur quel intervalle elle est décroissante.

Mathématiquement, ça donne ceci:

Définition

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle. On dit que :

$f$ est croissante sur $I$ lorsque pour tous les réels $a,b \in I$ : si $a < b$ , alors $f(a) \leq f(b)$ .
$f$ est strictement croissante sur $I$ lorsque pour tous les réels $a,b \in I$ : si $a < b$ , alors $f(a) < f(b)$ .
$f$ est décroissante sur $I$ lorsque pour tous les réels $a,b \in I$ : si $a < b$ , alors $f(a) \geq f(b)$ .
$f$ est strictement décroissante sur $I$ lorsque pour tous les réels $a,b \in I$ : si $a < b$ , alors $f(a) \geq f(b)$
$f$ est monotone sur $I$ lorsque $f$ est croissante ou décroissante sur $I$ .
$f$ est strictement monotone sur $I$ lorsque $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante sur $I$ .

La différence entre la "strictement" et "non-strictement" est uniquement dans le signe d'inégalité: " $>$ "," $<$ " pour les strictes, " $\geq$ "," $\leq$ " pour les non-strictes.

Faisons maintenant "petit" exemple de montagne:

Exemple

Gégé est parti escalader le Mont-Blanc. Il part à midi de tout en bas, et monte à 100m d'altitude en une heure. On veut écrire ceci avec une fonction. Mettons $x$ comme le temps, et $f(x)$ comme l'altitude. On a donc pour $x=0$ (le temps de départ), l'altitude de Gégé vaut aussi $0$ , donc $f(0)=0$ . Pour $x=1$ (au bout d'une heure), on a $f(x)=100$ , car Gégé a monté de 100m. Et donc $f(1) = 100$ .

Si Gégé continue à ce rythme, on a $f(2) = 200, f(3) = 300, f(4) = 400$ , et ainsi de suite. La fonction de montée de Gégé est donc $f(x)= 100x$ , où $x$ représente les heures passées à monter et $f(x)$ son altitude à l'heure $x$ .

On veut maintenant vérifier que c'est une fonction croissante avec la définition. Soient deux nombres $x. On veut vérifier, à partir de l'information$ x, qu'on a bien $f(x). On a$ f(x) = 100x $et$ f(y)=100y $. Comme$ x, on a vu dans le chapitre d'inéquations que multiplier par un nombre positif des deux cotés ne change pas l'inéquation. Donc $x implique que$ 100x<100y $, et donc$ f(x). On vient de montrer que $f$ est croissante.

Minimums et maximums

Introduisons une manière équivalente d'écrire les minimums et maximums. On les avait défini dans le chapitre précédent de cette façon:

Définition

Le maximum d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est la plus grande valeur $f(x)$ atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
Le minimum d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
Un extremum d’une fonction sur un intervalle $I$ est un maximum ou un minimum de cette fonction sur l’intervalle $I$ .

Imaginons maintenant une fonction $f$ , avec un maximum en $a$ sur un intervalle $I$ . Selon notre définition, $f(a)$ est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur l'intervalle $I$ . On peut donc aussi dire que si on prend un autre nombre $b$ dans cet intervalle, $f(b)$ sera plus petit que $f(a)$ . Ceci étant vrai peu importe le nombre $b$ qu'on prend (tant qu'il reste dans l'intervalle $I$ ) on peut donc réécrire la définition comme suit:

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

Si pour tout réel $x$ appartenant à $I$ , $f(x) \leq f(a)$ , alors $f(a)$ est un maximum de $f$ en $a$ .
Si pour tout réel $x$ appartenant à $I$ , $f(x) \geq f(a)$ , alors $f(a)$ est un minimum de $f$ en $a$ .

Ces deux définitions sont équivalentes, la dernière étant plus pratique à utiliser car plus courte.

Le pluriel de maximum, minimum et extremum s'écrit maxima, minima et extrema.

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Variations, extrema, translations et dilatations

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