Une fonction est dite croissante sur un intervalle si :
Lorsque la valeur de augmente sur , l’image augmente aussi.
Sur un graphique : est croissante sur lorsque la courbe de « monte » sur .
Une fonction est dite décroissante sur un intervalle si :
Lorsque la valeur de augmente sur , l’image , au contraire, diminue.
Sur un graphique : est décroissante sur lorsque la courbe de « descend » sur .
Une fonction est dite constante sur un intervalle si :
Lorsque la valeur de change, l’image prend toujours la même valeur.
Sur un graphique : est constante sur lorsque la courbe de est horizontale sur .
Soit un intervalle. Une fonction croissante sur ou décroissante sur est dite monotone sur . (Les deux fonctions au-dessus sont monotones sur ).
Les variations d’une fonction sur son domaine de définition, peuvent se résumer dans un tableau de variations
Dans la première ligne du tableau on indique les intervalles de monotonie de et dans la seconde les variations de (des flèches).
On lit les flèches de gauche à droite. Si la flèche monte, la fonction est croissante, si elle descend, elle est décroissante.
Aux extrémités de chaque flèche, on indique les valeurs atteintes par .
Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur l’intervalle par la courbe ci-dessous :
Solution
On observe graphiquement que la courbe de descend sur et monte sur avec ; et :
Le tableau de variation de est :
Le maximum d’une fonction sur un intervalle est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
Le minimum d’une fonction sur un intervalle est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
Un extremum d’une fonction sur un intervalle est un maximum ou un minimum de cette fonction sur l’intervalle .
Déterminer le maximum et le minimum de la fonction définie sur l’intervalle par la courbe ci-dessous :
Solution
On observe graphiquement que :
Le maximum de sur l’intervalle est en .
Le minimum de sur l’intervalle est en (voir le graphique ci-dessous).
Soit une fonction définie sur un intervalle . Si pour tous réels et appartenant à tels que on a:
Un premier item...
Un second...
Montrer que la fonction affine est croissante sur et dresser un tableau de variation de .
Montrer que la fonction affine est décroissante sur et dresser un tableau de variation de .
Solution
Soient et deux éléments de tels que .
Donc est croissante sur . Le tableau de variation de :
Soient et deux éléments de tels que
Donc est décroissante sur . Le tableau de variation de :
Soit une fonction définie sur un intervalle et .
Si pour tout réel appartenant à , , alors est un maximum de en .
Si pour tout réel appartenant à , , alors est un minimum de en .
Montrer que la fonction admet un minimum sur en .
Solution
On a pour tout de , :
D’où (c'est-à-dire ) est le minimum de sur en
Soient et des nombres réels.
Si alors la fonction affine est croissante sur .
Si alors la fonction affine est décroissante sur .
La fonction carré est croissante sur l’intervalle et décroissante sur l’intervalle .
La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle et sur l’intervalle .