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Variations et Extremums de Fonctions

Variations à partir d'un graphique

Fonction croissante, décroissante, constante

Définition

Une fonction ff est dite croissante sur un intervalle II si :

Lorsque la valeur de xx augmente sur II, l’image f(x)f(x)augmente aussi.

Sur un graphique : ff est croissante sur II lorsque la courbe de ff « monte » sur II.

Définition

Une fonction ff est dite décroissante sur un intervalle II si :

Lorsque la valeur de xx augmente sur II, l’image f(x)f(x), au contraire, diminue.

Sur un graphique : ff est décroissante sur II lorsque la courbe de ff « descend » sur II.

Définition

Une fonction est dite constante sur un intervalle II si :

Lorsque la valeur de xx change, l’image f(x)f(x) prend toujours la même valeur.

Sur un graphique : ff est constante sur II lorsque la courbe de ff est horizontale sur II.

Texte alternatif
lumix

Soit II un intervalle. Une fonction croissante sur II ou décroissante sur II est dite monotone sur II. (Les deux fonctions au-dessus sont monotones sur II).

Tableau de variations d'une fonction

Définition

Les variations d’une fonction ff sur son domaine de définition, peuvent se résumer dans un tableau de variations

  • Dans la première ligne du tableau on indique les intervalles de monotonie de ff et dans la seconde les variations de ff (des flèches).

  • On lit les flèches de gauche à droite. Si la flèche monte, la fonction est croissante, si elle descend, elle est décroissante.

  • Aux extrémités de chaque flèche, on indique les valeurs atteintes par ff.

Exemple

Dresser le tableau de variations de la fonction ff définie sur l’intervalle [0;6][0; 6] par la courbe ci-dessous :

Texte alternatif

Solution

On observe graphiquement que la courbe de ff descend sur [0;3][0 ;3] et monte sur [3;6][3 ;6] avec f(0)=3f(0)=3 ; f(3)=1f(3)=1 et f(6)=5f(6)=5 :

Texte alternatif

Le tableau de variation de ff est :

Texte alternatif

Extremums à partir d'un graphique

Maximum et minimum d'une fonction

Définition

Le maximum d’une fonction ff sur un intervalle II est la plus grande valeur f(x)f(x) atteinte par cette fonction sur cet intervalle.

Le minimum d’une fonction ff sur un intervalle II est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle.

Un extremum d’une fonction sur un intervalle II est un maximum ou un minimum de cette fonction sur l’intervalle II.

Texte alternatif

Exemple

Déterminer le maximum et le minimum de la fonction ffdéfinie sur l’intervalle [0;4][0; 4] par la courbe ci-dessous :

Texte alternatif

Solution

On observe graphiquement que :

  • Le maximum de ff sur l’intervalle [0;4][0; 4] est 33 en 2,52,5.

  • Le minimum de ff sur l’intervalle [0;4][0; 4] est 3,25-3,25 en 00 (voir le graphique ci-dessous).

Texte alternatif

Variations et extremums d'un point de vue algébrique

Variations d'une fonction

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Si pour tous réels aa et bb appartenant à II tels que aba {\color{green}\leq} b on a:

  • Un premier item...

  • Un second...

Texte alternatif

Exemple

Montrer que la fonction affine f(x)=2x+5f(x)=2x+5 est croissante sur R\mathbb{R} et dresser un tableau de variation de ff.

Montrer que la fonction affine g(x)=3x+6g(x)=-3x+6 est décroissante sur R\mathbb{R} et dresser un tableau de variation de gg.

Solution

Soient aa et bb deux éléments de R\mathbb{R} tels que aba {\color{green}\leq} b.

ab2a2b2a+52b+5f(a)f(b)a \leq b \\ 2a \leq 2b \\ 2a + 5 \leq 2b + 5 \\ f(a) \leq f(b)

Donc ff est croissante sur R\mathbb{R}. Le tableau de variation de ff:

Texte alternatif

Soient aa et bb deux éléments de R\mathbb{R} tels que aba {\color{green}\leq} b

ab3a3b3a+63b+6g(a)g(b)a \leq b \\ -3a \geq -3b \\ -3a + 6 \geq -3b + 6 \\ g(a) \geq g(b)

Donc gg est décroissante sur R\mathbb{R}. Le tableau de variation de gg:

Texte alternatif

Extremums d'une fonction

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aIa \in I.

  • Si pour tout réel xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x) \leq f(a), alors f(a)f(a) est un maximum de ff en aa.

  • Si pour tout réel xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x) \geq f(a), alors f(a)f(a) est un minimum de ff en aa.

Exemple

Montrer que la fonction f(x)=x2+3f(x)=x^2+3 admet un minimum sur R\mathbb{R} en 00.

Solution

On a pour tout xx de R\mathbb{R}, x20x^2 \geq 0 :

x20x23f(x)3f(x)f(0)x^{2} \geq 0 \\ x^{2} \geq 3 \\ f(x) \geq 3 \\ f(x) \geq f(0)

D’où 33 (c'est-à-dire f(0)f(0)) est le minimum de ff sur R\mathbb{R} en 00

Variations des fonctions affines, de la fonction carré et de la fonction inverse

Variations des fonctions affines

Propriété

Soient aa et bb des nombres réels.

  • Si a>0a>0 alors la fonction affine xax+bx \longmapsto ax+b est croissante sur R\mathbb{R}.

  • Si a<0a<0 alors la fonction affine xax+bx \longmapsto ax+b est décroissante sur R\mathbb{R}.

Texte alternatif

Variation de la fonction carré et de fonction inverse

Propriété

La fonction carré xx2x \longmapsto x^2 est croissante sur l’intervalle [0;+[[0 ;+\infty[ et décroissante sur l’intervalle ];0]]-\infty ;0].

La fonction inverse x1xx \longmapsto \dfrac 1 x est décroissante sur l’intervalle ]0;+[]0 ;+\infty[ et sur l’intervalle ];0[]-\infty ;0[.

lumix

Mots clés à retenir : Fonction croissante, Fonction décroissante,Fonction monotone, Tableau de variation, Maximum, Minimum,

Commentaires

LENA

0
il y a 5 ans
il n'y a pas les images 
Répondre

Dorian

0
il y a 5 ans
Bonjour,+Je viens de prendre un abonnement et cela est fréquent que les images ne s'affichent pas  pouvez traiter cette problématiser
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Thibault_Glt

0
il y a 5 ans
t' es un génie avec ce que je n'ai pas compris en 1 semaine je l'ai compris en 1 heure
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Assiaa

0
il y a 5 ans
Heyy je voulais te dire merci pour le site, il est génial. Il me motive et m'aide à comprendre de fou. J'aime beaucoup le concept
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Assiaa

0
il y a 5 ans
les images ne s'affichent pas donc on ne peut pas faire les exercices.. Par exemple dans le chapitre variation et extremum de fonction pour seconde. Les flèches ne s'affichent pas. 
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Assiaa

0
il y a 5 ans
 
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Assiaa

1
il y a 5 ans
Les images ne s'affichent pas..
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Youusra

-1
il y a 5 ans
Je ne comprend pas ce que signifie les signes ≤ ou ≥
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