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Repérage sur le Cercle Trigonométrique

Repérage sur un cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Définition

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;I;J)(O; I; J).

  • On appelle cercle trigonométrique le cercle du centre OO et de rayon 11, sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

  • Le sens direct est appelé aussi sens trigonométrique ou sens positif.

  • Le point II est appelé origine du cercle trigonométrique.

Longueur d'un arc de cercle

Propriété

Soit (C)(C) un cercle trigonométrique.

  • La longueur du cercle (C)(C) est égale à 2π2\pi et son angle plein mesure 360°360°.

  • La longueur du demi-cercle est égale à π\pi et l'angle plat mesure 180°180°.

  • Soit MM un point du cercle. La mesure α\alpha en degrés de l'angle IOM^\widehat{IOM} est proportionnelle à la longueur \ell de l'arc qu'il intercepte et on a la relation de proportionnalité suivante :

α180=π. \frac {\alpha}{180} = \frac {\ell }{\pi}.

D'où le tableau suivant :

Angle IOM^(°)\widehat{IOM}(°)

30°

45°

60°

90°

180°

360°

Longueur d'arc \ell correspondante

0

π6\dfrac{\pi}6

π4\dfrac{\pi}4

π3\dfrac{\pi}3

π2\dfrac{\pi}2

π\pi

2π2\pi

Repérage d'un point sur un cercle trigonométrique

Propriété

Propriété

Soit MM un point du cercle trigonométrique (C)(C) de centre OO et d'origine II.

  • Si \ell est la longueur de l'arc parcourue de II vers MM dans le sens direct, alors on dit que le point MM est associé au réel positif \ell (on dit aussi que MM est repéré par \ell).

  • Si \ell est la longueur de l'arc parcourue de II vers MM dans le sens indirect, alors on dit que le point MM est associé au réel négatif -\ell .

  • Si le point MM est associé à un réel xx, alors il est associé aussi à tout nombre de la forme x+k2πx+k2\pi (avec kk entier relatif).

Lire le réel associé à un point

Exemple

Donner trois nombres associés au point AA sur le cercle trigonométrique ci-dessous tel que IOA^=45°\widehat{IOA}=45°.

Solution

  • On voit que π4\dfrac{\pi}4 est la longueur de l'arc parcourue de II vers MM dans le sens direct, alors le point AA est associé au réel positif π4\dfrac{\pi}4.

  • Puisque 7π4\dfrac{7\pi}4 est la longueur de l'arc parcourue de II vers MM dans le sens indirect, alors le point AA est associé aussi au réel négatif 7π4- \dfrac{7\pi}4.

  • Pour aller de II vers MM dans le sens direct, on peut parcourir une longueur d'arc plus grande comme 9π4\dfrac{9\pi}4, cette fois le point AA est associé aussi au réel positif 9π4\dfrac{9\pi}4 (voire les trois figures ci-dessous).

Placer un point repéré par un réel, sur un cercle

Exemple

Tracer un cercle trigonométrique et placer les points associés aux réels π2\dfrac{\pi}2 ; π\pi ; π2-\dfrac{\pi}2 et 3π2-\dfrac{3\pi}2 . Solution

  • Le point associé à π2\dfrac{\pi}2 est JJ.

  • Le point associé à π\pi est II'.

  • Le point associé à π2-\dfrac{\pi}2 est JJ'.

  • Le point associé à 3π2-\dfrac{3\pi}2 est JJ.

Sinus, cosinus et tangente

Définition

Soit (O;I;J)(O; I; J) un repère orthonormé du plan et (C)(C) un cercle trigonométrique de centre OO et d'origine II. Soit xx un réel quelconque et MM le point de (C)(C) associé à xx.

  • On appelle cosinus de xx notée cosx\cos x, l'abscisse de MM.

  • On appelle sinus de xx notée sinx\sin x, l'ordonnée de MM.

  • Si xπ2+kπ x\neq{\dfrac{\pi}2} + k\pi (avec kk entier relatif), on appelle tangente de xx le nombre défini par : tanx=sinxcosx\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.

Le point $M$ de coordonnées $(c ;s)$ est repéré par $x$ avec $\cos x = c$ et $\sin x = s$.

Le point MM de coordonnées (c;s)(c ;s) est repéré par xx avec cosx=c\cos x = c et sinx=s\sin x = s.

Propriété

Pour tout nombre réel xx :

(cosx)2+(sinx)2=11cosx11sinx1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1 \\ -1 \leq \cos x \leq1 \\ -1 \leq \sin x \leq 1

Valeurs remarquables

Angle IOM^(°)\widehat{IOM} (°)

30°

45°

60°

90°

180°

Réel xx associé à MM

0

π6\dfrac{\pi}6

π4\dfrac{\pi}4

π3\dfrac{\pi}3

π2\dfrac{\pi}2

π\pi

cos(x)cos(x)

1

32\dfrac{\sqrt{3}}2

22\dfrac{\sqrt{2}}2

12\dfrac12

0

-1

sin(x)sin(x)

0

12\dfrac12

22\dfrac{\sqrt{2}}2

32\dfrac{\sqrt{3}}2

1

0

lumix

Mots clés à retenir : Cercle trigonométrique, Point associé à un réel, Cos, Sin, Tan.

Commentaires

igal20032901

-4
il y a 5 ans
bite
Répondre

igal20032901

-3
il y a 5 ans
chate Réponds..
Répondre

Bilal

3
il y a 5 ans
Gamin
Répondre

Yassine

0
il y a 5 ans
oui c'est vrai
Répondre

Kone771

0
il y a 4 ans
salut a vous
Répondre