Le plan est rapporté à un repère orthonormé .
On appelle cercle trigonométrique le cercle du centre et de rayon , sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
Le sens direct est appelé aussi sens trigonométrique ou sens positif.
Le point est appelé origine du cercle trigonométrique.
Soit un cercle trigonométrique.
La longueur du cercle est égale à et son angle plein mesure .
La longueur du demi-cercle est égale à et l'angle plat mesure .
Soit un point du cercle. La mesure en degrés de l'angle est proportionnelle à la longueur de l'arc qu'il intercepte et on a la relation de proportionnalité suivante :
D'où le tableau suivant :
Angle | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
Longueur d'arc correspondante | 0 |
Soit un point du cercle trigonométrique de centre et d'origine .
Si est la longueur de l'arc parcourue de vers dans le sens direct, alors on dit que le point est associé au réel positif (on dit aussi que est repéré par ).
Si est la longueur de l'arc parcourue de vers dans le sens indirect, alors on dit que le point est associé au réel négatif .
Si le point est associé à un réel , alors il est associé aussi à tout nombre de la forme (avec entier relatif).
Donner trois nombres associés au point sur le cercle trigonométrique ci-dessous tel que .
Solution
On voit que est la longueur de l'arc parcourue de vers dans le sens direct, alors le point est associé au réel positif .
Puisque est la longueur de l'arc parcourue de vers dans le sens indirect, alors le point est associé aussi au réel négatif .
Pour aller de vers dans le sens direct, on peut parcourir une longueur d'arc plus grande comme , cette fois le point est associé aussi au réel positif (voire les trois figures ci-dessous).
Tracer un cercle trigonométrique et placer les points associés aux réels ; ; et . Solution
Le point associé à est .
Le point associé à est .
Le point associé à est .
Le point associé à est .
Soit un repère orthonormé du plan et un cercle trigonométrique de centre et d'origine . Soit un réel quelconque et le point de associé à .
On appelle cosinus de notée , l'abscisse de .
On appelle sinus de notée , l'ordonnée de .
Si (avec entier relatif), on appelle tangente de le nombre défini par : .
Pour tout nombre réel :
Angle | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° |
Réel associé à | 0 | |||||
1 | 0 | -1 | ||||
0 | 1 | 0 |
Mots clés à retenir : Cercle trigonométrique, Point associé à un réel, Cos, Sin, Tan.