Dans ce chapitre, nous allons parler des fonctions linéaires et des fonctions affines. Une fonciton linéaire, comme une fonction affine, représentre une droite. Bien que les droites soient très intuitives à tracer, on cherche une façon de les écrire algébriquement avec une fonction . Le but est de pouvoir associer à chaque droite une fonction.
Une fonction linéaire est une fonction de la forme , où et sont des nombres réels.
Le nombre est appelé coefficient de proportionalité.
Le nombre est appelé ordonnée à l'origine.
Une fonction affine est une fonction de la forme , où est un nombre réels.
Le nombre est appelé coefficient de proportionalité.
Si la fonction est croissante.
Si la fonction est décroissante.
Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine .
Toute fonction affine et linéaire admet une droite comme représentation graphique. Toute droite est représentée par l'équation .
Représentation graphique d'une fonction affine :
Imaginons qu'on nous donne une certaine fonction et qu'on veuille tracer sa représentation graphique. Voici la marche à suivre:
On lit la valeur de l'ordonnée à l'origine . On place un point en .
On lit la valeur du coefficient de proportionnalité . On place un point à .
On relie ces deux points par une droite. Cette droite est la représentation graphique de .
Représenter graphiquement la fonction .
Cette fonction admet comme ordonnée à l’origine. On place donc le premier point en .
Cette fonction admet comme coefficient directeur. On place donc le deuxième point en .
On trace la droite de la représentation graphique de (droite verte ci-dessous).
On s'intéresse ici à la question inverse: comment à partir d'une représentation graphique d'une droite, connaître l'équation de la fonction qui la représente? La marche à suivre est la suivante:
On regarde où la droite intersecte l'axe des ordonnées. C'est la valeur dans l'équation .
On trace une droite verticale en la valeur . On note l'intersection de la droite verticale avec notre droite.
On trace une droite horizontale à cette intersection.
L'intersection de la droite horizontale avec l'axe des ordonnées nous donne la valeur de . On en déduit et on peut écrire notre équation .
Déduire l'équation de la fonction du graphique de la droite ci-dessous:
On remarque que la droite intersecte l'axe de sordonnées en , donc .
On trace la droite verticale en . On note son intersection avec notre droite (point orange du haut).
On trace la droite horizontale à cette intersection.
La droite horizontale intersecte l'axe des ordonnées en , la valeur de est donc , et . On peut donc écrire notre équation .