Une fonction permet d'associer à tout nombre d'un ensemble un nombre unique .
L'ensemble est appelé ensemble de définition de la fonction .
Le nombre est une variable qui parcourt cet ensemble.
Le nombre est appelé image de par .
Tout élément de l'ensemble de définition a une image et celle-ci est unique.
L'image d'un nombre par une fonction se note et on lit « de ».
Pour désigner la fonction qui à associe on écrit .
On définit une fonction en indiquant un moyen pour déterminer lorsque varie sur l’ensemble de définition ; cela se fait souvent avec une expression littérale.
Soit la fonction qui à associe son triple. On écrit
L'image de par est , on écrit . On a définit par l’expression littérale .
Soit la fonction qui à associe son carré. On écrit
L'image de est , on écrit .
Considérons une fonction et deux nombres et tels que . Nous savons que est l'image de par . On dit alors aussi que est un antécédent de par .
Soit la fonction
Un premier item...
Un second...
Attention : Le nombre n'a qu'une seule image mais peut avoir plusieurs antécédents.
Les antécédents par une fonction d'un nombre sont les nombres dont l'image est , ce sont donc les solutions de l'équation .
Considérons la fonction et cherchons le ou les antécédents de . Il s'agit de résoudre l'équation :
Conclusion : a un unique antécédent qui est .
Considérons la fonction et cherchons le ou les antécédents de . Résolvons l'équation :
donc a deux antécédents qui sont et .
Soit une fonction définie sur un ensemble . Dans le plan muni d'un repère, on appelle représentation graphique (ou courbe) de l'ensemble des points pour lesquels est élément de et .
Si on note la courbe représentative de , alors : est un point de signifie que .
On considère la fonction définie par la représentation graphique suivante
Puisque et sont des points de la courbe de , alors : et .
On trace sur l’axe des abscisses le point d’abscisse .
On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par .
Cette droite coupe la courbe en un point .
L'image de par est l’ordonnée de , donc . (Voir la figure ci-dessous)
Par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction donnée ci-dessous, déterminer les images des nombres ; ; ; ; et :
Solution
Soit une fonction définie par une représentation graphique. Pour déterminer les antécédents d’un nombre par :
On trace sur l’axe des ordonnées le point d’ordonnée .
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par .
Cette droite coupe la courbe aux points .
Les antécédents de sont les abscisses de ces points. (Voir la figure ci-dessous)
Lire les antécédents de ; ; et .
Solution
Le seul antécédent de est (Les flèches en rouge).
Les antécédents de sont ; et (Les flèches en bleu).
De la même façon, les antécédents de sont ; et .
4 admet un seul antécédent qui est .
Pour une fonction donnée, on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres , et la seconde ligne contient leurs images respectives .
Voici le tableau de valeurs d’une fonction :
Lire l’image de et de par .
Lire les antécédents de et de par
Solution
On cherche (puis ) sur la première ligne du tableau et on lit son image sur la deuxième ligne : et .
On cherche (puis ) sur la deuxième ligne du tableau et on lit ses antécédents sur la première ligne. Le seul antécédent de est et les antécédents de sont et .
Mots clés à retenir : Représentation graphique, Courbe, Image, Antécédent, Tableau de valeurs.