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Généralités sur les Fonctions

Définition

Définition

Une fonction ff permet d'associer à tout nombre xx d'un ensemble DD un nombre unique yy.

  • L'ensemble DD est appelé ensemble de définition de la fonction ff.

  • Le nombre xx est une variable qui parcourt cet ensemble.

  • Le nombre yy est appelé image de xx par ff.

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Tout élément de l'ensemble de définition DD a une image et celle-ci est unique.

Fonction définie par une expression littérale

Définition

L'image d'un nombre xx par une fonction ff se note f(x)f(x) et on lit «ff de xx».

Pour désigner la fonction qui à xx associe f(x)f(x) on écrit f:xf(x)f : x \longmapsto f(x).

On définit une fonction en indiquant un moyen pour déterminer f(x)f(x) lorsque xx varie sur l’ensemble de définition DD; cela se fait souvent avec une expression littérale.

Déterminer l'image d'un nombre à partir d'une expression littérale

Exemple

Soit ff la fonction qui à x{\color{green}x} associe son triple. On écrit

f:x3x.f:x⟼3x.

L'image de 2{\color{green}2} par ff est 3×2=63\times {\color{green}2}={\color{purple}6}, on écrit f(2)=6f({\color{green}2})={\color{purple}6}. On a définit ff par l’expression littérale 3x3x.

Soit gg la fonction qui à x{\color{green}x} associe son carré. On écrit

g:xx2g:x⟼x ^{2}

L'image de 5{\color{green}5} est 52=25{\color{green}5}^2={\color{purple}25}, on écrit g(5)=25g({\color{green}5}) = {\color{purple}25}.

Antédécent

Définition

Considérons une fonction ff et deux nombres x{\color{green}x} et y{\color{purple}y} tels que f(x)=yf({\color{green}x})={\color{purple}y}. Nous savons que y{\color{purple}y} est l'image de x{\color{green}x} par ff. On dit alors aussi que x{\color{green}x} est un antécédent de y{\color{purple}y} par ff.

Exemple

Soit la fonction f:xx+4.f : x \longmapsto x+4.

  • Un premier item...

  • Un second...

lumix

Attention : Le nombre xx n'a qu'une seule image mais yypeut avoir plusieurs antécédents.

Déterminer les antécédents d'un nombre à partir d'une expression littérale

Définition

Les antécédents par une fonction ff d'un nombre yy sont les nombres xx dont l'image est yy, ce sont donc les solutions de l'équation f(x)=yf(x)=y.

Exemple

Considérons la fonction f:x2x1f : x \longmapsto 2x-1 et cherchons le ou les antécédents de 5{\color{purple}5}. Il s'agit de résoudre l'équation f(x)=5f({\color{green}x})={\color{purple}5} :

f(x)=52x1=52x=5+12x=6x=62x=3f(x) = 5\\ 2x - 1 = 5 \\ 2x = 5 + 1 \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2}\\ x = 3

Conclusion : 5{\color{purple}5} a un unique antécédent qui est 3{\color{green}3}.

Considérons la fonction f:xx2f : x \longmapsto x^2 et cherchons le ou les antécédents de 1616. Résolvons l'équation f(x)=16f(x)=16 :

f(x)=16x2=16x216=0x242=0(x4)(x+4)=0x4=0oux+4=0x=4oux=4f(x) = 16 \\ x^{2} = 16 \\ x^{2} - 16 = 0 \\ x^{2} - 4^{2} = 0 \\ (x-4)(x+4) = 0 \\ x - 4 = 0 ou x+4=0 \\ x=4 ou x = -4

donc 1616 a deux antécédents qui sont 44 et 4-4.

Fonction définie par une représentation graphique

Définition

Définition

Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD. Dans le plan muni d'un repère, on appelle représentation graphique (ou courbe) de ff l'ensemble des points M(x,y)M(x, y) pour lesquels xxest élément de DD et y=f(x)y = f(x).

lumix

Si on note (C)(C) la courbe représentative de ff, alors : M(x,y)M(x, y) est un point de (C)(C) signifie que y=f(x)y = f(x).

Exemple

On considère la fonction ff définie par la représentation graphique suivante

Texte alternatif

Puisque A(1;1)A({\color{green}1} ; {\color{purple}1}) et B(2;4)B({\color{green}2} ; {\color{purple}4}) sont des points de la courbe de ff, alors :  f(1)=1\ f({\color{green}1})={\color{purple}1} et f(2)=4f({\color{green}2})={\color{purple}4}.

Déterminer l'image d'un nombre à partir d'une représentation graphique

lumix


Soit ff une fonction définie par une représentation graphique. Pour déterminer l'image d’un nombre aa par ff :

  • On trace sur l’axe des abscisses le point AAd’abscisse aa.

  • On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par AA.

  • Cette droite coupe la courbe en un point BB.

  • L'image de aa par ff est l’ordonnée bb de BB, donc f(a)=bf(a)=b. (Voir la figure ci-dessous)

Texte alternatif

Exemple

Par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction ff donnée ci-dessous, déterminer les images des nombres 00 ; 11 ; 22 ; 2,52,5 ; 33 et 1-1 :

Texte alternatif

Solution

Déterminer les antécédents d'un nombre à partir d'une représentation graphique

lumix

Soit ff une fonction définie par une représentation graphique. Pour déterminer les antécédents d’un nombre bb par ff :

  • On trace sur l’axe des ordonnées le point BBd’ordonnée bb.

  • On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par BB.

  • Cette droite coupe la courbe aux points A1,A2,,ApA_1 , A_2 , … , A_p.

  • Les antécédents de bb sont les abscisses a1,a2,,apa_1 , a_2 , … , a_p de ces points. (Voir la figure ci-dessous)

Exemple

Lire les antécédents de 11 ; 22 ; 33 et 44.

Solution

  • Le seul antécédent de 11 est 22 (Les flèches en rouge).

  • Les antécédents de 22 sont 11 ; 2,52,5 et 44 (Les flèches en bleu).

  • De la même façon, les antécédents de 33 sont 00 ; 33 et 55.

  • 4 admet un seul antécédent qui est 1-1.

Déterminer l'image et l'antécédent à parti d'un tableau de valeur

Définition

Pour une fonction ff donnée, on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres xx, et la seconde ligne contient leurs images respectives f(x)f(x).

Exemple

Voici le tableau de valeurs d’une fonction ff :

Texte alternatif
  • Lire l’image de 11 et de 55 par ff.

  • Lire les antécédents de 11 et de 33 par ff

Solution

On cherche 11 (puis 55) sur la première ligne du tableau et on lit son image sur la deuxième ligne : f(1)=0f(1)=0 et f(5)=10f(5)=10.

On cherche 11 (puis 33) sur la deuxième ligne du tableau et on lit ses antécédents sur la première ligne. Le seul antécédent de 11 est 00 et les antécédents de 33sont 1-1 et 44.

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Mots clés à retenir : Représentation graphique, Courbe, Image, Antécédent, Tableau de valeurs.

Commentaires

Nightmoreses

0
il y a 5 ans
vraiment très très bien fait j'adore 
Répondre

Mathieu

0
il y a 5 ans
Très bien fait
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Paul.C

1
il y a 5 ans
Il aurait était judicieux de faire une petite parenthèse sur les identités remarquables.
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sopoanlaouia

-1
il y a 5 ans
okeey rien compriey
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Margue

0
il y a 4 ans
Pour l'instant je comprend un peu les cours
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