Fonctions du Second Degré et Polynômes

On considère la fonction trinôme du second degré $p(x)=2x^2 + 3x -7$. Écrire $p(x)$ sous sa forme canonique.

Solution

On a $p(x)= {\color{green}2}x^2 + {\color{red}3}x {\color{purple}-7}$ avec ${\color{green} a=2}$, ${\color{red} b=3}$ et ${\color{purple}c=-7}$D’après la définition de la forme canonique :

α=−2ab​=−2×23​=−43​

β=p(α)=p(−43​)=2(−43​)2+3(−43​)−7=

Donc la forme canonique de la fonction trinôme $p$ est

Autre méthode pour calculer la forme canonique

Il suffit de construire une identité remarquable dans le trinôme :

RAPPEL : Pour tous nombres $a$ et $b$ :

Donc

Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction $f(x) = 3( x-2)^2 + 1$.

Même question pour la fonction $g(x) = -x^2+6x-4$.

Solution

Puisque $a=3>0$ alors $f$ est décroissante sur l’intervalle

puis croissante sur l’intervalle

Voici le tableau de variation et la courbe de $f$ :

On écrit d’abord $g$ sous sa forme canonique :

Puisque $a=-1<0$ alors $g$ est croissante sur l’intervalle $\rbrack-\infty;3\rbrack$ ($\alpha=3$) puis décroissante sur l’intervalle $[3;+\infty[$. Voici le tableau de variation et la courbe de $g$ :

Déterminer l’extremum de la fonction $f(x) = 4(x-8)^2 + 9$.

Solution

On a $a=4$, $\beta=9$ et $\alpha=8$ Puisque $a=4>0$ alors $9$(c'est-à-dire $\beta$) est le minimum de $f$ sur $\mathbb R$, atteint en $8$(c'est-à-dire $\alpha$).

Etudier le signe des trois fonctions trinômes suivantes :

Solution

Signe de $f$ : pour tout $x \in \mathbb R$

donc $f$ est positive sur $\mathbb R$.

Signe de $g$ : Pour tout $x \in \mathbb R$ :

donc $g$ est négative sur $\mathbb R$.

Signe de $h$ : On remarque ici que $a=1>0$ et $\beta=-9<0$ (signes différents), dans ce cas il faut penser au tableau de signe de la fonction $h$. Premièrement on factorise l’expression $h(x)$ par l’identité remarquable ${\color{green}X}^2-{\color{purple}Y}^2=({\color{green}X}-{\color{purple}Y})({\color{green}X}+{\color{purple}Y})$:

Tableau de signe de $h$ (Voir le cours : « Factorisation et Etudes de Signe ») : $x-2=0$ si et seulement si $x=2$. $x+4=0$ si et seulement si $x=-4$.

Conclusion : $h$ est positive sur l’ensemble $\rbrack-\infty;-4\rbrack \cup [2;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[-4 ;2]$

On considère la fonction trinôme définie par sa forme réduite

Vérifier que les deux formes suivantes (canonique et factorisée), sont celles de $f$ : $f(x)=3(x-1)^2-12 \qquad ; \qquad f(x)=3(x-3)(x+1).$

Selon la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :

Solution

On développe les deux expressions pour prouver qu’elles sont égales à $f$ :

Pour les coordonnées du sommet de la parabole, le tableau de variation et l’extremum de $f$, la forme la plus adaptée est la forme canonique :

Le sommet de la parabole de $f$ est $\Omega(1 ;-12)$

Pour déterminer les antécédents de $0$, on résout l’équation $f(x)=0$, donc la forme la plus adaptée est la forme factorisée :

Les antécédents de $0$ sont $3$ et $-1$.

our déterminer les antécédents de $6$, on résout l’équation $f(x)=6$, donc la forme la plus adaptée cette fois est la forme canonique :

Les antécédents de $6$ sont $1+\sqrt{6}$ et $1+\sqrt{6}$

Pour étudier le signe de $f$ On utilise la forme factorisée $f(x)=3(x-3)(x+1)= (3x-9)(x+1)$. Revoir le paragraphe « signe d’une fonction trinôme » : Tableau de signe de $f$ : $3x-9=0$ si et seulement si $x=3$. $x+1=0$si et seulement si $x=-1$.

Conclusion : $f$ est positive sur l’ensemble $\rbrack-\infty;-1\rbrack \cup [3;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[-1 ;3]$