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Le facteur commun

Dans cette vidéo, on va apprendre comment factoriser une expression avec la méthode du facteur commun. Le but de cette opération est de transformer une somme en produit. Faisons un exemple introductif:

Exemple

Imaginons qu'on veuille factoriser l'expression 2x+2y2x+2y. Ca veut dire qu'à la place de la somme, on voudrait obtenir un produit k(x+y)k(x+y) avec le nombre kk tel que k(x+y)=2x+2yk(x+y) = 2x+2y. En développant k(x+y)=kx+ky=2x+2yk(x+y) = kx + ky = 2x + 2yon se rend compte que k=2k=2. On est donc passé de la somme 2x+2y2x+2y à un produit 2(x+y)2(x+y).

lumix

Une factorisation est une façon équivalente d'écrire une expression.

Mathématiquement, la règle s'écrit comme ceci:

Propriété

Pour tous nombres réels aa, bb et kk :ka+kb=k(a+b).{\color{green}k}a+{\color{green}k}b={\color{green}k} (a+b).(k\color{green}{k} est appelé facteur commun.)

lumix

Il n'y qu'à développer k(a+b)k(a+b) pour retomber sur le résultat ka+kbka +kb. La factorisation est donc l'inverse du développement.

Penchons nous un peu plus sur ce facteur commun. Il est facile à voir quand on a une expression du type 2x+2y2x+2y. Mais que faire dans le cas où on a par exemple 2x+6y2x+6y? Dans ces cas là, on peut réécrire le 66 comme 3×23\times2, et on obtient donc 2x+(3×2)y2x+(3\times2)y. On peut aussi l'écrire comme 2x+2×(3y)\textcolor{green}{2}x +\textcolor{green}{2}\times(3y). En appliquant la règle plus haut avec a=xa = x et b=3yb=3y on obtient 2x+6y=2(x+3y)2x+6y = 2(x+3y). On peut toujours développer 2(x+3y)2(x+3y) pour vérifier qu'on ne s'est pas trompé.

lumix

Pas toutes les sommes sont factorisables. Par exemple, 2x+3y2x+3y ne peut pas être factorisé, car 2x2x et 3y3y n'ont pas de facteur commun.

Le but est de toujours essayer de réécrire notre somme en essayant de la mettre sous forme ka+kb{\color{green}k}a+{\color{green}k}b. Dès qu'on y parvient, on peut directement appliquer la règle et arriver au résultat. Faisons encore quelques exemples:

Exemple

  • 3x+15y=3x+(5×3)y=3x+3×(5y)=3(x+5y)3x+15y=3x+(5×3)y=\textcolor{green}{3} x+\textcolor{green}{3}×(5y)=\textcolor{green}{3}(x+5y)

  • 4x+2y=2×(2x)+2y=2×(2x)+2y=2(2x+y)4x+2y=2×(2x)+2y=\textcolor{green}{2}×(2x)+\textcolor{green}{2}y=\textcolor{green}{2}(2x+y)

  • 9x+6y=3×(3x)+3×(2y)=3×(3x)+3×(2y)=3(3x+2y)9x+6y=3×(3x)+3×(2y)=\textcolor{green}{3}×(3x)+\textcolor{green}{3}×(2y)=\textcolor{green}{3}(3x+2y)

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Commentaires

grisgris

2
il y a 5 ans
Merci Mathrix . J'ai tout compris grâce a toi
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marie.h2822

0
il y a 5 ans
(2x-3)(2x+3)
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MOHAMED MACHINE59

0
il y a 5 ans
2(1+3)
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Bruno

0
il y a 5 ans
attention, dans la video et le piège du 1, vous dites 3x1=1 ;)
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