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Equations de Droites

Définitions

Définition

On considère deux nombres a{\color{green}a} et b{\color{purple}b}.

Une fonction affine (de coefficients a{\color{green}a} et b{\color{purple}b}), est une fonction qui à tout nombre xx associe le nombre ax+b{\color{green}a}x + {\color{purple}b} :

xax+b.x⟼ax+b.

Si b=0{\color{purple}b}=0, cette fonction affine s’appelle fonction linéaire :

xax.x⟼ax.

Si a=0{\color{green}a}=0, cette fonction affine devient fonction constante :

f:xb.f:x⟼b.

Exemple

Parmi les fonctions suivantes, déterminer les fonctions affines, les fonctions linéaires et les fonctions constantes.

  • f(x)=2xf(x) = 2x

  • g(x)=5x3g(x) = 5x - 3

  • h(x)=7h(x) = 7

  • k(x)=14xk(x) = 1 - 4x

Solution

  • Un premier item...

  • Un second...

Représentation graphique d'une fonction affine

Déplacement sur une droite

Définition

A partir d’un point du plan, on définit un déplacement vers la droite et un déplacement vers le haut comme étant tous les deux positifs ; et on définit un déplacement vers La gaucheet un déplacement vers le bas comme étant négatifs.

Exemple

On considère sur la droite (D)(D) trois points AA, BB et CC (figure ci-dessous).

Texte alternatif

Pour aller de AA à BB, on fait un déplacement horizontal de +4{\color{purple}+4} unités (vers la droite) suivi d’un déplacement vertical de +2{\color{purple}+2} (vers le haut).

Pour aller de AA à CC, on fait un déplacement horizontal de 2{\color{red}-2} (vers la gauche) suivi d’un déplacement vertical de 1{\color{red}-1} (vers le bas).

Propriétés et définitions

Définition

Soit ff une fonction affine définie par f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}. La représentation graphique de ff dans le plan muni d'un repère est une droite (Df)(D_f) (non parallèle à l'axe des ordonnées).

  • Cette droite est appelée droite d'équation y=ax+by={\color{green}a} x + {\color{purple}b}.

  • Un second...

Propriété

La droite (Df)(D_f) coupe la droite des ordonnées au point P(0;b)P(0 ; {\color{purple}b}).

Pour aller de ce point PP vers un autre point AAquelconque de la droite (Df)(D_f), on fait un déplacement horizontal dxd_x suivi d’un déplacement vertical dyd_y. On remarque toujours que :

a=dydxa= \frac{d_y}{d_x}

Tracer la droite d’une fonction affine

lumix


Pour tracer la droite (Df)(D_f) d’une fonction affine f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}, nous avons besoin de deux points qui correspondent à deux images :

Méthode 1

    • On prend deux images {f(x1)=y1f(x2)=y2\left \{\begin{aligned} f({\color{green}x_1})&={\color{green}y_1} \\ f({\color{purple}x_2})&={\color{purple}y_2} \\ \end{aligned} \right., puis on trace les deux points {A(x1;y1)B(x2;y2)\left \{\begin{aligned} &{\color{green} A(x_1 ; y_1) } \\ &{\color{purple} B(x_2 ; y_2) } \\ \end{aligned} \right..

    • On trace la droite (AB)({\color{green}A} {\color{purple}B}) qui n’est autre que (Df)(D_f).

    Méthode 2

    • On trace le point P(0,b)P(0, {\color{purple}b}).

    • On écrit le coefficient directeur a{\color{green}a} sous forme de fraction rationnelle: a=d2d1a = \frac{d_2}{d_1}

    • On part du point PP et on fait un déplacement horizontal de d1d_1 suivi d’un déplacement vertical de d2d_2, on s’arrête sur un point MM. Résultat : (Df)=(PM)(D_f) = (PM)

    Exemple

    Représenter graphiquement la fonction affine

    f:x2x+1.f:x⟼2x+1.

    Solution

    Méthode 1

    La représentation graphique de ff est une droite (Df)(D_f). Il suffit donc de connaître les coordonnées de deux de ses points : On choisit deux images, par exemple {f(1)=3f(2)=5,\left \{\begin{aligned} f({\color{green}1} )&={\color{green}3} \\ f({\color{purple} 2})&={\color{purple}5} \\ \end{aligned} \right.,donc (Df)=(AB)(D_f)=({\color{green}A} {\color{purple}B}) avec {A(1;3)B(2;5)\left \{\begin{aligned} &{\color{green} A(1 ; 3) } \\ &{\color{purple} B(2 ; 5) } \\ \end{aligned} \right..

    Texte alternatif

    Méthode 2

    L’équation de (Df)(D_f) est y=2x+1y={\color{green}2} x + {\color{purple}1}

    • On trace le point P(0,1)P(0, {\color{purple}1})

    • On écrit le coefficient directeur 2{\color{green}2} sous forme de fraction rationnelle : 2=+2+12 = \frac{+2}{+1}

    • On part du point PP et on fait un déplacement horizontal de +1{\color{purple}+1} suivi d’un déplacement vertical de +2{\color{purple}+2}, on arrive au point MM, donc :(Df)=(PM)(D_f) = (PM)

    Texte alternatif

    Cas particuliers

    Propriété

    La représentation graphique d'une fonction linéaire (xaxx \longmapsto {\color{green}a}x) est une droite passant par l'origine du repère, donc les coordonnées d'un seul autre point suffisent pour tracer cette droite.

    La représentation graphique d'une fonction constante (xbx \longmapsto {\color{purple}b}) est une droite parallèle à l'axe des abscisses, donc le point P(0;b)P(0 ; {\color{purple}b}) suffit pour la tracer.

    Exemple

    Représenter graphiquement les fonctions suivantes :

    f:x1,5x.etg:x2.f:x⟼1,5x.etg:x⟼2.

    Solution

    La fonction ff est linéaire, donc sa droite (Df)(D_f) passe par l’origine OO. D’après l’image f(2)=3f(2)=3, (Df)(D_f) passe aussi par le point A(2;3)A(2;3), donc (Df)=(OA)(D_f)=(OA) (figure ci-dessous).

    La fonction gg est constante (de valeur 22), donc sa droite (Dg)(D_g) est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point P(0;2)P(0 ; 2) (figure ci-dessous).

    Déterminer une fonction affine avec deux points

    Définition

    Si (Df)(D_f) est la droite d’une fonction affine f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}, et A(x1;f(x1))A(x_1 ;f(x_1)) et B(x2;f(x2))B(x_2 ;f(x_2)) sont deux points différents de cette droite, alors

    a=f(x2)f(x1)x2x1a= \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

    Le nombre f(x2)f(x1)x2x1\dfrac{ f(x_2)- f(x_1)}{ x_2 - x_1 } est appelé taux de croissance de ff entre x1x_1 et x2x_2.

    Exemple

    Déterminer la fonction affine ff telle que f(1)=2f(1)=2 et f(3)=4f(3)=-4.

    Solution

    Cherchons a{\color{green}a} et b{\color{purple}b} tels que f(x)=ax+bf(x) = {\color{green}a} x + {\color{purple}b}.

    Méthode 1 : Taux de croissance

    On calcule le coefficient a{\color{green}a}. Puisque f(1)=2f(1)=2 et f(3)=4f(3)=-4donc d’après la propriété

    Texte alternatif

    La fonction est telle que

    f(x)=3x+bf(x) = -3x + b

    On cherche maintenant à déterminer b{\color{purple}b}.

    Texte alternatif

    Conclusion :

    f(x)=3x+5f(x)=−3x+5

    Méthode 2 : Système d’équations

    On a

    f(x)=ax+bf(x)=ax+b

    donc

    Texte alternatif

    puisque f(1)=2f(1)=2 et f(3)=4f(3)=-4, donc

    Texte alternatif

    On résout ensuite ce système soit par substitution ou par combinaison.

    Texte alternatif

    D’où :

    f(x)=3x+5.f(x)=−3x+5.
    lumix

    Mots clés à retenir : Droite, Equation, Coefficient directeur, Ordonnée à l’origine.

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