Les Vecteurs

Dans cette vidéo, nous allons voir ce qu'est un vecteur, ses représentants, son opposé et comment les utiliser pour construire les figurer géométriques.

Graphiquement, un vecteur apparaît comment un segment, mais avec une flèche au bout pour représenter sa direction. Le but d'un vecteur est de représenter une translation d'un point à un autre, d'où le besoin de montrer sa direction avec une flèche. On peut donc assimiler un vecteur à un segment orienté. Comme un segment, un vecteur est composé de deux points, son point de départ et son point d'arrivée. On note un vecteur comme un segment, mais avec une flèche pour le caractériser. Si on parle d'un segment $AB$, un vecteur sera noté $\overrightarrow{AB}$.

Notons, qu'à aucun moment on a parlé d'où se trouve le vecteur dans le plan, car un vecteur est uniquement caractérisé par la translation qu'il représente. Si on a la même translation (c'est à dire la même direction, sens et longueur), mais à des endroits différents dans l'espace, les vecteurs les représentant sont considérés comme égaux. La propriété suivante résume ceci:

On vient de voir qu'on peut avoir plusieurs vecteurs égaux, même si ils occupent une place différente dans l'espace. Prenons un vecteur entre les points $A=(0,0)$ et $B=(0,1)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ fait une translation de $1$ vers la droite. On aimerait généraliser ce concept, c'est-à-dire choisir un vecteur qui fera la même translation que $\overrightarrow{AB}$, mais sans placer de points dans l'espace. Pour cela, on va utiliser un représentant. Un représentant est un vecteur, mais noté différemment. Pour représenter $\overrightarrow{AB}$, on le note $\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. Le chiffre du dessus représente le nombre de translations vers la droite et le chiffre du bas le nombre de translations vers la gauche. On note le représentants avec une lettre pour les differencier des vecteurs issus d'un segment.

L'opposé d'un vecteur est un vecteur qui a la même direction et la même longueur, mais son sens est opposé. Si on prend exemple avec $\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, son opposé devrait aussi faire une translation de $1$ , et aussi horizontale, mais cette fois si vers la gauche. On a donc $\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$, et on se rend compte que c'est égal à $-\overrightarrow{u}$. C'est toujours le cas avec un vecteur opposé, il est égal au vecteur initial multiplié par $-1$.

Le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur qui ne fait aucune translation, il laisse simplement l'objet tel quel.

Comme on sait maintenant ce qu'est un représentant, voyons comment les utiliser pour construire une figure géométrique. Imaginons qu'on veuille construire un carré de longueur $1$ en partant de $(0,0)$, mais sans placer de points. Notre carré devrait avoir come coordonnées $(0,0), (1,0), (1,1)$ et $(0,1)$.

Si on fait le chemin entre ces points, on se rend compte que pour aller de $(0,0)$ à $(1,0)$, on doit monter verticalement d'une unité, donc appilquer $\overrightarrow{v} =\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$. Ensuite, pour aller de $(1,0)$ à $(1,1)$ on doit appliquer $\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, la translation vers la droite. Ensuite on applique $\overrightarrow{w} =\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$ pour descendre à $(0,1)$ et pour finir en appliquant $\overrightarrow{z} =\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$, on revient en $(0,0)$. On a donc fait le tour à partir de l'origine en appliquant divers représentants pour changer de position. Et pour finir on a construit notre carré sans placer de points.