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Vecteurs et Droites du Plan

Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs non nuls, u,v\vec{u}, \vec{v} sont dits colinéaires si, et seulement si , il existe un réel kk tel que u=kv\vec{u} = k\vec{v}.

Propriété

Soit u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} deux vecteurs du plan. u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles. Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, xyxy=0xy' - x'y = 0.

Propriété

On considère quatre points A,B,CA, B, C et DD avec AA distinct de BB et CC distinct de DD. Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires si, et seulement si, les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles.

Corollaire

Trois points A,B,CA, B, C sont alignés si, et seulement si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Décomposition d'un vecteur et norme

Propriété

Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs du plan non nuls et non colinéaires. Tout vecteur w\vec{w} du plan s'écrit de façon unique sous la forme w=xu+yv\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}xx et yy sont des réels.

Propriété

Soit A,BA, B et CC trois points non alignés du plan. Pour tout point MM du plan, il existe un unique couple de réels (x;y)(x;y) tels que AM=xAB+yAC\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}. Le triplet (A,AB,AC)(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) définit donc un repère du plan et le couple (x;y)(x;y) est appelé le couple de coordonnées de MM dans ce repère.

Définition

  • Soit AA et BB deux points. La norme AB\overrightarrow{AB}, notée AB||\overrightarrow{AB}||, est définie par AB=AB||\overrightarrow{AB}|| = AB.

  • Soit u\vec{u} un vecteur et deux points AA et BB tels que u=AB\vec{u} = \overrightarrow{AB}.

La norme de u\vec{u} est alors définie par u=AB||\vec{u}|| = AB.

Propriété

  • Si u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} dans un repère orthonormé, alors u=x2+y2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}.

  • Pour tout réel kk, on a ku=k×u||k\vec{u}|| = |k| \times ||\vec{u}||.

Équation cartésienne d'une droite

Définition

Un vecteur u\vec{u} non nul est un vecteur directeur de la droite (AB)(AB) si u\vec{u} et AB\overrightarrow{AB} sont colinéaires. Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d'une droite, lorsqu'il a la même direction que cette droite.

Propriété

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre.

Propriété

Soit aa et bb deux réels. Le vecteur u(1a)\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite d'équation y=ax+by = ax + b.

Propriété

Soit kk un réel. Le vecteur u(01)\vec{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite d'équation x=kx = k.

Propriété

Soit AA un point du plan, u\vec{u} un vecteur non nul et dd la droite de vecteur directeur uu passant par AA. Un point MM appartient à dd si, et seulement si AM\overrightarrow{AM} et u\vec{u} sont colinéaires.

Propriété

L'ensemble des points M(x;y)M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec (a;b)(0;0)(a;b) \neq (0;0) est une droite de vecteur directeur u(ba)\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}.

Propriété

Tout droite du plan admet une équation de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec (a;b)(0;0)(a;b) \neq (0;0)u(ba)\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite.

Définition

Une équation d'une droite dd de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 est appelée équation cartésienne de la droite dd.

Commentaires

ALICIA

0
il y a 5 ans
je voit pas les videos
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Demeulenaere

0
il y a 5 ans
lesquelles?
Répondre

gardenya__

0
il y a 5 ans
je comprends rien de tout !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Répondre

Tazzery

0
il y a 5 ans
il y a un pb au niveau des graphiques
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Sysypchs

0
il y a 5 ans
Milieu : (3/2 ; 5)  Longueur : racine 65  
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sarah

0
il y a 4 ans
Moi non plus je ne comprends pas
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