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Fonctions polynômes et équations de second degré

Polynôme du second degré

Définition

La fonction f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c avec a0a \neq 0 est un polynôme du second degré.

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux deux à deux.

Propriété

Tout polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2 + bx + c avec a0a \neq 0 peut s'écrire sous la forme :

f(x)=a[(x+b2a)2Δ4a2].f(x) = a \left[ \left(x+ \frac{b}{2a} \right) ^2 - \frac{ \Delta}{4a^2}\right].

Cette forme est appelée forme canonique.

Définition

Le réel Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac est appelé discriminant du polynôme.

Définition

On appelle racine d'un polynôme tout réel aa tel que f(a)=0f(a)=0.

Résolution des équations du second degré

Cas 1  : Δ<0\Delta < 0

Si Δ\Delta est strictement négatif, alors dans ce cas il n'y a pas de solutions dans R\mathbb{R} et on a

tableau de signe delta

Cas 2  : Δ=0\Delta = 0

Si Δ\Delta est nul, alors on a une solution unique : x0=b2a x_0=-\dfrac{b}{2a} et le polynôme se factorise par :

f(x)=a(xx0)2.f(x)=a(x-x_0)^2.
tableau de signe delta

Cas 3 : Δ>0\Delta > 0

Si Δ\Delta est strictement positif, alors on a deux solutions : signe de a-a

x0=b+Δ2a et x1=bΔ2a.x_0= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad\text{ et }\quad x_1= \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}.

Le polynôme se factorise alors comme par

f(x)=a(xx0)(xx1).f(x)=a(x-x_0)(x-x_1).
Delta = 0
Commentaires

christof

0
il y a 5 ans
Bonjour, quelle est a différence entre les deux formes canoniques, f(x)=a[(x+ 2a b ​ ) 2 − 4a 2 Δ ​ ]. et f(x) = a( x −α ) + β                                               2                                       Merci
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Alexis

1
il y a 5 ans
je ne sais pas
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sadis222

-2
il y a 5 ans
la première fonction est fonction est utiliser pour trouver alpha et Bêta.
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sadis222

-3
il y a 5 ans
Réponds..
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Alexis

-7
il y a 5 ans
Christof deja pour commencer apprend à ecrire ton prenom merci. Et  arrete de faire le malin ou je te hack gros illettrée donc tu te clame ou c'est la sanction, je t'ai à l’œil ! 
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Charlie

0
il y a 5 ans
je crois que l on utilise alpha et beta en seconde pour voir les courbures des courbes... C plus simple pour introduire la vrai forme canonique
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Souhayb

-1
il y a 5 ans
SUPER COURS ! MERCI !!!
Répondre

Souhayb

1
il y a 5 ans
SUPER COURS ! MERCI !!!
Répondre

Souhayb

-3
il y a 5 ans
SUPER COURS ! MERCI !!!
Répondre

Souhayb

-3
il y a 5 ans
SUPER COURS 
Répondre

Souhayb

-3
il y a 5 ans
SUPER COURS 
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Alexis

2
il y a 5 ans
merci mais evite de spam si tu veux pas etre banni du site.
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Alexis

-13
il y a 5 ans
et si tu arrete pas je te hack ton pc aussi donc arrete espece d'imbecile merci !
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Merouane

0
il y a 5 ans
mais arrete de te prendre pr un hackeur de la cia tes juste un bouffon qui essaye de comprendre son cour de mathRéponds..
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Alexis

0
il y a 5 ans
Tu l'auras voulu je vais te hacker petit garnement !
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Ethan

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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Younes

1
il y a 5 ans
comment on détermine l'antécédent svp ?
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Ismxl_Zxrq

0
il y a 5 ans
La parabole est contente et son sommet a pour coordonnées [1.25 , 0.25].
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Wearce

1
il y a 5 ans
salut
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paspiral

0
il y a 5 ans
hey
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francisca

0
il y a 5 ans
super c'étais super simple apres avoir pris le temps de relire les definitions et propriété l'exercice m'a été plus simple à faire merci pour le,site je le découvre a peine grace à une vidéo sur Youtube sur les second degré ! merci !!!
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Flo

0
il y a 5 ans
la vidéo fonctionne pas :(
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samia1603

0
il y a 5 ans
j(adore
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Merouane

-1
il y a 5 ans
help je ne comprend strictement rien
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Merouane

0
il y a 5 ans
ya qqln 
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
qu'est-ce qu'une application
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
qu'est-ce qu'une application
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
ioe loula dal
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
ioe loula dal
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
ioe loula dal
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
ioe loula dal
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diopfallmbeukeu

0
il y a 5 ans
ioe loula dal
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rere09

0
il y a 5 ans
j'ai vraiment besoin d'aide en maths
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RmnMgn

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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Zhang

0
il y a 4 ans
yo!
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NASSIROY

0
il y a 4 ans
BONJOUR JE SUIS NOVICE SUR RLE SITE ET J ADORE VRAIMENT UN GRAND MERCI 
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chiara

-1
il y a 4 ans
comment passer de f(x)=a[(x+(b/2a)2)-(racine de delta/2a)2] à f(x)=a(x-x1)(x-x2) svp
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Mohamed

1
il y a 4 ans
Merci 
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NAKIYA

1
il y a 4 ans
WAI CS BIEN
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NAKIYA

0
il y a 4 ans
CV MOI JE COMPRENDS PAS BIEN LES TABLEAU DE SIGNE
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Belano

0
il y a 4 ans
J'ai besoin d'aide concernant les barycentre
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Maëlle

0
il y a 4 ans
En Chimie ? 
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Claire

0
il y a 4 ans
soit f la fonction definit sur un intervalle [0,7,5] par f(x)=-6x²+45x comm comment je dois ca
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Claire

0
il y a 4 ans
comment je dois calculer l'abscisse du sommet de la parabole
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