Les propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire est commutatif, c'est à dire que $\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$.

Si $\vec{u} = 0$ ou $\vec{v} = 0$, alors $\vec{u}.\vec{v} = 0$.

$\vec{u}.\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$, appelé carré scalaire de $\vec{u}$, on a alors$\vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2.$

Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition :$\vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}.$

Pour deux réels $k$ et $k'$ :$(k\vec{u}.k'\vec{v}) = (kk')\vec{u}.\vec{v},$En particulier $(-\vec{u}).\vec{v} =\vec{u}.(-\vec{v}) = -\vec{u}.\vec{v}$.

$||\vec{u}+\vec{v}||^2 = (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2$

$||\vec{u}-\vec{v}||^2 = (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2$

$(\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2$