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Produit Scalaire dans le Plan

Définition du produit scalaire dans le plan

Définition

Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et de v⃗\vec{v}, noté u⃗.v⃗\vec{u}.\vec{v} (qui se lit u⃗\vec{u}scalaire v⃗\vec{v}), est défini par :

u⃗.v⃗=12(∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2).\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2).

lumix

Attention : le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, et pas un vecteur.

Propriété

Soit u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}. Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est donné par :

u⃗.v⃗=xx′+yy′.\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'.

Propriété

Pour deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} et trois points A,BA, B et CCdistincts du plan.

  • u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u},\vec{v})

  • AB→.AC→=AB×AC×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})

Les propriétés du produit scalaire

Propriétés générales

Propriété

  • Le produit scalaire est commutatif, c'est à dire que u⃗.v⃗=v⃗.u⃗\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}.

  • Si u⃗=0\vec{u} = 0 ou v⃗=0\vec{v} = 0, alors u⃗.v⃗=0\vec{u}.\vec{v} = 0.

  • u⃗.u⃗\vec{u}.\vec{u} est également noté u⃗2\vec{u}^2, appelé carré scalaire de u⃗\vec{u}, on a alorsu⃗2=∣∣u⃗∣∣2.\vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2.

Définition

On dit que deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, ce que l'on note u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}, si, et seulement si, u⃗.v⃗=0\vec{u}.\vec{v} = 0.

Propriété

Soit u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, (u⃗,v⃗)=π2(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\pi}{2} ou −π2(2π)-\dfrac{\pi}{2} (2\pi).

Corollaire

Deux droites du plan sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.

Propriété

  • Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition :u⃗.(v⃗+w⃗)=u⃗.v⃗+u⃗.w⃗.\vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}.

  • Pour deux réels kk et k′k' :(ku⃗.k′v⃗)=(kk′)u⃗.v⃗,(k\vec{u}.k'\vec{v}) = (kk')\vec{u}.\vec{v},

En particulier (−u⃗).v⃗=u⃗.(−v⃗)=−u⃗.v⃗(-\vec{u}).\vec{v} =\vec{u}.(-\vec{v}) = -\vec{u}.\vec{v}.

Propriété

  • ∣∣u⃗+v⃗∣∣2=(u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗.v⃗+v⃗2=∣∣u⃗∣∣2+2u⃗.v⃗+∣∣v⃗∣∣2||\vec{u}+\vec{v}||^2 = (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2

  • ∣∣u⃗−v⃗∣∣2=(u⃗−v⃗)2=u⃗2−2u⃗.v⃗+v⃗2=∣∣u⃗∣∣2−2u⃗.v⃗+∣∣v⃗∣∣2||\vec{u}-\vec{v}||^2 = (\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2

  • (u⃗+v⃗)(u⃗−v⃗)=u⃗2−v⃗2=∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2(\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2

Théorème

Soit AA et BB deux points distincts du plan et II le milieu de [AB][AB]. Pour tout point MM du plan, MA2+MB2=2MI2+AB22MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}

Propriété

Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires.

  • u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont de même sens.

  • u⃗.v⃗=−∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣\vec{u}.\vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont de sens opposés.

Projeté orthogonal

Définition

Dans le plan, on considère une droite (AB)(AB) et un point CCextérieur à cette droite. HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB) est l'intersection de (AB)(AB) et de la perpendiculaire (AB)(AB) passant par CC.

Propriété

Soit A,BA, B et CC trois points distincts du plan et HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB). On a alors :AB→.AC→=AB→.AH→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}

Plus précisément, si H≠AH\neq A, il y a deux configurations possibles :

  • AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} ont même sens, alorsAB→.AC→=AB→.AH→=AB×AH\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = AB \times AH

  • AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} sont de sens opposés, alorsAB→.AC→=AB→.AH→=−AB×AH\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -AB \times AH

Définition

Dans le plan, on dit qu'un vecteur non nul n⃗\vec{n} est normal à une droite dd s’il est orthogonal à un vecteur directeur de dd. n⃗\vec{n}est alors orthogonal à tout vecteur directeur de dd.

Propriété

On se place dans un repère orthonormé du plan et on considère deux réels aa et bb non tous les deux nuls.


    • La droite d’équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0admet n⃗(ab)\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} pour vecteur normal.

    • Réciproquement, une droite admettant n⃗(ab)\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} pour vecteur normal a pour équation ax+by+c=0ax + by + c = 0 (où cc est à déterminer)

    Commentaires

    ilian

    0
    il y a 5 ans
    ce site est super cool
    Répondre

    asri

    0
    il y a 4 ans
    super
    Répondre

    asri

    0
    il y a 4 ans
    love you
    Répondre

    asri

    0
    il y a 4 ans
    cc
    Répondre

    asri

    0
    il y a 4 ans
    cv
    Répondre

    hasyx

    0
    il y a 4 ans
    oui et toi
    Répondre

    asri

    0
    il y a 4 ans
    slm
    Répondre
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